138	Гл. 6. Функции нескольких переменных

6.5. Производная неявной функции

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти производную функции у = у{х)у заданной неявно уравнением

F{x,y)=0.

(1)

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ при каждом фиксированном ж, принадлежа­ щем некоторой области Z), уравнение (1) имеет единственное реше­ ние у, принадлежащее некоторой области Е^ то уравнение (1) задает функцию у = у{х) с областью определения D и областью значений Е.

Если в некоторой окрестности точки (а:о,2/о = у{^о)) функция F{x^y) дифференцируема и Fy{xo,yo) Ф О? то уравнение (1) опре­ деляет функцию у — г/(ж), дифференцируемую в точке жо, причем ее производная определяется формулой

1.Вычисляем частные производные F^{x,y) и Fy{x^y) в точке (а:о,2/о)) где уо есть корень уравнения F{xo,y) = 0.

2.Находим у'{хо) по формуле (2) и записываем ответ.

ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогично вычисляются частные производные функций нескольких переменных, заданных неявно. Например, если уравнение F{x^y^z) = О задает функцию z = z{x^y), то при извест­ ных условиях функция Z = z{x^y) дифференцируема в точке (жо,г/о) и ее частные производные определяются формулами

F^(xo,^Q,zo)		F'{xQ,yQ,zo)
F'^{xQ,yQ,ZQ)	у	F^{xo,yo,zo)

где ZQ есть корень уравнения F{xo^yo,z) = 0.

ПРИМЕР. Найти производную функции у = у(х)^ заданной неявно

уравнением
In ух^ + у^ = arctg —.	(3)
X

РЕШЕНИЕ.

1. В данном случае F{x^ у) = In -s/x^ + y^ — arctg —. Вычисляем ее частные производные:

1

f • У \

^ + 2/

J.2 _^ у2

1 -f (у/ж)2 \ Ж^/ х'^+у'^

6.5. Производнал неявной функции

139

Очевидно, что F{x,y), F^ и F' непрерывны при всех х j^O и	Fyj^O
при X ф у. Следовательно, уравнение (3) определяет функцию у(х),
дифференцируемую во всех точках (жо, Уо) области, где х ф^тх	ф у.
2. Находим у' по формуле (2)

Ответ, у = при всех жо, 2/о? удовлетворяющих уравне-

XQ - уо

ПИЮ (3), в области, где х ф О и х ф у.

Условия ЗАДАЧ. Найти производные функций у = у{х)^ заданных неявно уравнениями.

1.2/^ =хУ.

3.у = X -{-Iny.

5.х^е^^ - 2/^e^^ = 0 .

7.ysinx — cos(a: — 2/) = 0.

9.Ц-жу-1п(е^2/ + е-ху)^0.

Ответы.

, t/'^lniz-T/x^^-^

ху^~^—хУ Inx

у

З.у' = ^—.

^у-1

,2/2е2^-хе22/

Х'^е'^У — уе'^^

,_ У cos X Н- sin(x - ?/)

sm{x — y)—smx '

У

X

2. 2/ = 1 + 2/^.

4.ж + 2/ = е^~^-

6.х - у -\- arctg ?/ = 0.

8.sm{xy) — е^У — х'^у = 0.

10. х^ - 2а:у + т/^ + ж + ?/- 2 = 0.

,	у^1п2/
	1 — ху^~^
	QX-У	_ 2
^.у'	= -	-.

^е^-2/ + 1

,1 + у2

		у
Q	' _	^(^^ "^ ^^^ - ^^^ ^^)
		x{cosxy — е^У — х)
^	,	2у-2х-1
		2^/ - 2ж + 1

140	Гл. 6. Функции нескольких переменных

6.6.Касательная плоскость и нормаль к поверхности

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности^ заданной уравнением

в точке М{хо^уо^го).

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

Нормальный вектор к поверхности, заданной уравнением

	F(x,y,z)		= 0,
в точке М(а:о,2/05^о) определяется формулой
п = grad F	dF_		ар
	м I ^^	м	9у м' 9z м

Следовательно, уравнение касательной плоскости к данной поверх­ ности в точке М{хо^ уо, ZQ) есть

	^'х|м(^ - ^о) + Fl\^ixo,yo,zo){y		- Уо) + Fi\j^{z - ZQ) = О (1)
	И уравнения нормали —
	Х-Хо	у -уо	Z- ZQ	(2)
	F'\	F'\	F'\
	^х\м	у\м	z\M

1.Находим частные производные F^, F^ и F^ в точке М(жо, Уо? ^^^о).

2.Подставляем найденные значения в уравнения (1) и (2) и запи­ сываем ответ.

ЗАМЕЧАНИЕ. ЕСЛИ заданы только значения жо и ?/о, то координата ZQ ТОЧКИ М определяется из условия, что точка М принадлежит дан­ ной поверхности, т.е. F{xQ^yQ^ZQ) = 0.

ПРИМЕР. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением

z = xy,

в точке М(1,1).

6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхностей

141

РЕШЕНИЕ. Запишем уравнение поверхности в виде xy — z = Oy т.е.

F = ху — Z.

Координаты точки М: XQ = 1 ш уо = 1. Координату ZQ опреде­ ляем из условия, что точка М принадлежит данной поверхности, т.е. F(l, 1, zo) = 0. Получаем ZQ = 1.

1. Находим частные производные F!^^ Fy и F^ в точке М(1,1,1):

F'l

=v\

= 1

F'\

= х\

-1

F'\

=-1

^а:|(1Д,1)

^^1(1,1,1)

-^'

^2/1(1,1,1)

•^Kl.l^) •^'

^^1(1,1,1)

•^•

2. Подставляя найденные значения в уравнения (1) и (2), получаем

уравнение касательной плоскости

l ( a : - l ) - f 1 ( г / - 1 ) - 1 ( г - 1 ) = 0

и уравнения нормали

X — 1

у — 1

2 — 1

1

""

1

^

- 1

Ответ.

Уравнение касательной

плоскости:

х + у — z — 1 = 0.

Уравнения нормали:

х — 1=у

— 1 = 1 — z.

Условия ЗАДАЧ.

Найти

уравнения

касательной

плоскости и

нормали к поверхности

в заданной

точке

М.

1.

z = x2 + y2,

М(1,-2,5).

3.

Z = sin а; cos 2/,

М(7г/4,7г/4,1/2).

4.

z =

e=''=°^2',

М(1,7г,1/е).

5.

z^ytgx,

М(7г/4,1,1).

6.

Z = arctg(x/2/),

М(1,1,7г/4).

7.

x(y + z ) ( z - a ; j / ) = 8 ,

М(2,1,3).

8.

2^/^ + 2!//^ =

8,

М(2,2,1).

9.

a;2 + y2 + z 2 - 1 6 = 0,

М(2,2,2\/2).

10. x 2 + y 2 - z 2 - - l ,

М(2,2,3).