Г л а ва б

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

При изучении темы ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ вы на примерах познакомитесь с понятиями частных производных, полного дифференциала, градиента, производной по направлению и научитесь их вычислять. Вы также научитесь дифференцировать сложные функции нескольких переменных и функции, заданные не­ явно. Эти умения вы сможете применить для нахождения касатель­ ной плоскости и нормали к поверхности и точек экстремума функции двух переменных.

С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете вычислить част­ ные производные, решить системы уравнений (для нахождении ста­ ционарных точек), выполнить все численные расчеты и проверить правильность полученных вами результатов.

6.1. Частные производные

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти частные производные до второго порядка включит,елъно функции z = /(xi, Ж2,..., Жп).

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

1. Чтобы найти частную производную функции z = / ( x i , . . . , Хп) по переменной Xk, фиксируем остальные переменные и дифференци­ руем / как функцию одной переменной Xk-

2. Частные производные высших порядков вычисляются анало­ гично последовательным дифференцированием, т.е.

5^/		9^/
дх1 дх\	\dxij '	dxidx2	dx2	\dxi
д	fdf\		д	(af\

9X29X1

dxi \dx2J ' dxl ~ dx2 \dx2J

130	Гл. 6. Функции нескольких переменных

ЗАМЕЧАНИЕ. Частные производные можно обозначать также z'^^,

^Х2'> * • ' ' "^Жп ' ^XiXi") ^XiX2

^

^'f\'

ПРИМЕР. Найти частные производные до второго порядка вклю­ чительно функции Z = хУ {х > 0).

РЕШЕНИЕ.

1.Для того чтобы найти частную производную по ж, фиксируем

уи дифференцируем функцию z = х'^ как функцию одной пере­ менной X. Используя формулу для производной степенной функции

{х^У = ах^~^^ получим

Для того чтобы найти частную производную по ?/, фиксируем х и дифференцируем функцию г = х^ как функцию одной перемен­ ной у. Используя формулу для производной показательной функции {а^У = a^lna (а > 0), получим

Zy — x^bix.

2. Частную производную второго порядка z'^^ вычисляем, диффе­ ренцируя z'^ по X (при фиксированном у), т.е.

г:, = {ухУ'Х=у{у-\)хУ-\

Частную производную второго порядка z'' вычисляем, дифференци­ руя z'^ по у (при фиксированном х), т.е.

Частную производную второго порядка z'' вычисляем, дифференци­ руя z'y по X (при фиксированном у), т.е.

z'^^ = [хУ 1пх); = ухУ-^ Inx + x ^ i .

Частную производную второго порядка Zyy вычисляем, дифференци­ руя z'y по у (при фиксированном х), т.е.

4'j; = (a^^lnx); = x4n^x.

Ответ, г; = ухУ'^, z'y = ХУ1ПХ, z'^y = z'^^ = ХУ'^ + ух^-Чпх,

4х = Ы'-^Ух - у{у -1)^^-^, < , = ^^ ь^ X.

6.2. Градиент

131

Условия ЗАДАЧ. Найти частные производные

до вт^орого по­

рядка

включительно

заданных

функций.

1.

г = е''У.

2.

z =

xln{x/y).

3.

Z = sm{xy).

4.

z = е^

cosy.

5.

Z=

i/x2 +

t/2.

6.

Z =

ln{x'^+y).

7.

z = y/2xy

+ 2/^.

8.

z =

In

^/xy.

9.

z = xcosy

+ ysinx.

10. z =

(1 + ж)^(1 + г/)"^.

Ответы. 1.

4

= y e ^ ^

Z^

=

Xe^?/^

^^^'^ ^ у2^ху^

^//^

^

3.2^:г

z l

=

z l

=

e^^(l + Ж2/).

2.

z;

=

lux

- Iny +

1,

z'y

=

-x/y,

4x

= V^.

. . . . . .

. .

= -1/2/-

.

. .

z'y

^

<j/ =

^/2/^

4't/ = 4x

3. z; =

ycos{xy),

=

xcos{xy),

z'^^

=

-y'^sm{xy),

z'^y =

-x'^sm{xy),

z'^y =

z^^

=

= cos{xy) — xysm{xy).

4. z^ = e^ cosy,

Zy = —e^ siny,

z'^^ = e^ cosy,

Zyy =

-£_cosy^,

z'^y

=

z'^^

=

-e^siny.

5. z^

=

x/^/x^T^,

=

4x

= -xy/{x^

+ yY^\

6.

z;

=

2x/{x^

+ yl

z'y = l/(x2 + y),

Zi',

=

2 ( y - x 2 ) / ( x 2

+

y)2,

z;;

== - l / ( x 2 + y ) 2 ,

Z^',

=

Z^',

=

=

-2x/(x2 + y)2.

7. z; = y/V2a;y + y2,

z^ = (x + y)/V2xy + y2,

z;',

==

-у2/(2ху4-у2)3/2,

z;;

-

-x2/(2xy + y^)^/^

z^',

=

z^',

=

= xy/(2xy + y2)3/2.

8. zi

=

1/(30:),

z^ =

l/(3y),

z^',

-

-1/(3x2),

<y

=

-(32/')~\

4'y

= <x

=

0-

9.

zi

= cosy +

ycosx,

z'y

=

= s i n x - x s i n y ,

z^'^

=:

-ysinx,

z'^y =

-xcosy,

z'^y

=

z'l^

=

- c o s x - s i n y .

10.zi

= 2(l + x)(l + y)^

z; = 4(l + x)2(l + y)3,

z'^,

=

= 2{l + y)\

z;;

= 12(l + a:)2(l + y)2,

z^', = z^', = 8(1 + x)(l + y)^

6.2. Градиент

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти

градиент

функции

и = f{x,y,z)

в

точке

М{хо,уо,

ZQ).

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Градиент

функции

/(х, у, z) — это вектор, ко­

ординаты которого в базисе г, j . А: являются частными производными функции /(х, у, z), т.е.

, ,

df^^df^_^df

г: jdf

df

df\

132	Гл. 6. Функции нескольких переменных
1. Находим частные производные функции f{x^y^z)
	dl	dl	dl
	9ж'	9y'	dz'
2. Вычисляем	частные производные функции f{x,y,z) в точке
M{xQ,yo,zo).

4. Вычисляем градиент функции гх = /(х,7/,г)в точке М(а:о, 2/о? ^о)*

grad/ {/х(^о,2/о,2:о), fy{xo,yo,zo), fz{xo,yo,zo)}.

м

Записываем ответ.

ПРИМЕР. Найти градиент функции

и= х^ — arctg (у + z)

вточке М(2,1,1).

РЕШЕНИЕ.

1.Находим частные производные функции и — х"^ — arctg {у + z):

^

= 2х

^

= —L.—

^

=

-—1—

дх

'

ду

1 + (г/ + 2)2'

аг

l + (y + z)2-

2. Вычисляем частные производные функции и = х^ — axctg (j/ + z)

в точке М(2,1,1):

/ ; ( 2 , 1 , 1 ) = 4 ,

/;(2,l,l)

= - i ,

/^(2,1,1) =

- i .

3.

Вычисляем градиент

функции и

— х'^ — arctg [у Л- z)

в точке

М(2,1,1):

grad/

= {/;(2,1,1), /;(2,1,1), /^(2,1,1)} = | 4 ,

- 1 , -

i

j .

Ответ,

grad/

Условия ЗАДАЧ. Найти

градиент

функции

и = f{x,

у, z)

в

точ­

ке М.

1.

г/ = х + 1п(^2 + у2),

М(2,1,1).

2.

W = а;2г/- v / ^ ^ T i 2 ,

М(1,5,-2).

3.

п =

sin(a; + 22/) + гу^'хр,

М(7г/2,37г/2,3).