106		Гл. 4. Дифференцирование
3.	у = х^ "^.		4.	г/= (arctgx)"^.
7.	y = x^ .		8.		y^x^^"".
9.	^-(sinSx)^^^^^^^		10.	t/ = a:2^3^
Ответы.
,	/In sin X	Jx cos ж \	^	,	/	^ In 3 \
	\2л/х	X/		L In arctg ж +(1 + x'^jarctgx

^ ,	/ In tg ж		In ж \	^ ,
5-2/' = 2/	^ - ^ -		.	6. г/'-^
	\ X	smxcosx/

(\w.x 1 , ^\ - ^ + ^ = + c o s x l n 2 . \2^ж ух )

7. y'-j/2-- f-sinxln2 + l y 8. y' = у (^			+ ^ " l	.
\	X)	\ cos"^ a:	ж у
9. у' = y einsinSxctgSa:.		10. у' = у ( 2^ 1п21пж + 2"^--f InS j .

4.6.Производная функции, заданной параметрически

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти производную функции, заданной

параметрически.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ зависимость у от а: задана посредством параметра t:

•fit),

\ у

ТО зависимость у' от х задается посредством параметра t формулами

X = fit),

у' = Ж

(1)

Вычисляем f'{t) и g'{t)^ подставляем в формулу (1) и записываем ответ.

4.6. Производная функции, заданной параметрически

107

ПРИМЕР. Найти производную у'^, если

РЕШЕНИЕ. Вычисляем:
dx	I	[^	t
dt	t + vTT^V1 + vTTt2y			vTTt^'
dy ^	t	t	i'		- (1 -f vT+72)	x/t^TT
			^/ГТ~^		V -^ V ^ ; ^
dt	vTTF	1 + ViTt2			t2	t

Подставляя полученные результаты в формулу (1), получаем X = ln(t + \ / l + t 2 ) ,

Ответ. <( l-ft^

Условия ЗАДАЧ. Найти производные функций, заданных пара­

метрически.
		x = t'^ + l/t^	'^'	Г ж =			\/^2 - 2t,
		у = sin(tV3-{-St).		\	у=		^/гп:.
^'	^ y = Vt^TT.		'	I	y = tgt.
,	Г x - l n ( l - t 2 ) ,		g	Г a; =		lntgt,
	[	у = arcsin t.	'	\	y =		l/smt.
	j	X = cos^ t,	'	J	ж =	t	sint,
	I	у = sin^ t.		\	у = 1 cost.
					X =		\ / 1 - ^ 2 ,

у = arcsint.

108	Гл. 4. Дифференцирование
	Ответы.

• ^ 2/' = -t" cos (fiZ + 3t).					• 1 J/' = V^~^tl{Z ^{t - If).
	(	X^ Ь(<2 + 1),			r _
					-- - 2 \ / l	- t/cos^ t.
		X ^	ln(l - t^),	r x = lntgf,
^'	^	j / '	= - v / l - f 2 ( 2 f ) .	"• \ y'^-cos^		t/sint.
	j	X = cos^t,		j	X = t — sint^
^' I y' = - t g t .				^- \ y ' = c t g ( t / 2 ) .
9.	^	- - b s i n ^		^^J	x = Vr^^
		y' = -ttgt/Vl~^-			I 2/' = - 1 Л

4.7.Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Составить уравнения касательной и нор­ мали к кривой

X = fit),

у= g{t)

вт^очке А, соответст,вующей значению параметра t = tQ.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ЕСЛИ функция у{х) в точке а имеет конечную производную, то уравнение касательной имеет вид

У = у{а)-\~у'{а){х-а),

(1)

Если у'(а) = ос, то уравнение касательной имеет вид х = а. Если у'(а) ф О, то уравнение нормали имеет вид

Если у'{а) — О, то уравнение нормали имеет вид х = а.

J^.l. Касателънал и нормаль к кривой, заданной параметрически 109

1. Вычисляем координаты точки А:

[ а = /(^о),

2.Находим производную г/' в точке касания при t — to:

3.Подставляем полученные значения в уравнения касательной (1)

инормали (2) и записываем ответ.

ПРИМЕР. Составить уравнения касательной и нормали к кривой

X = 2е\

У= е~*

вточке А, соответствующей значению параметра t = 0.

РЕШЕНИЕ.

1. Вычисляем координаты точки А: а == 2, у{а) = 1. 2. Находим производную у' в точке А\

ПО) = 2е\^^ = 2, д'{0) ^ -е'^^^

^ - 1 ^ у'{0) - f i | | - -^^

Поскольку /'(0) 7^ О и /'(0) 7^ 00, то можно воспользоваться уравне­ ниями (1) и (2).

3. Подставляем полученные значения в уравнения касательной (1):

у = 1 -	i (х - 2),
И нормали (2):
у = 1-f	2(а;-2).

Ответ. Уравнение касательной: x-i-2y — 4: = 0. Уравнение нормали:

2х-у-3	= 0.
Условия		ЗАДАЧ. Составить		уравнения	касательной		и нормали
к графикам		функций,	заданным параметрически.
(	x = t-smt,			^	(	x = 2t + t'^,
^' \ y	= l-cost,		to = 7r/2.	• \ y		= 2t-t'^,	to = l.