Г л а ва 7 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

При изучении темы НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ вы из­ учите основные приемы нахождения первообразных (подведение под знак дифференциала, интегрирование по частям, замена перемен­ ной), научитесь интегрировать основные классы функций (рацио­ нальные дроби, тригонометрические и иррациональные выражения).

С помощью пакета РЕШЕБНИК.ВМ вы можете вычислить произ­ водные, разложить многочлен на множители, разложить рациональ­ ную функцию на элементарные дроби, решить системы уравнений для нахождения неопределенных коэффициентов, выполнить другие численные расчеты и проверить полученные вами результаты.

7.1.Интегрирование подведением под знак дифференциала

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти неопределенный интеграл

I F{x)g{x) dx.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Пусть д{х) имеет очевидную первообразную G(x), а F{x) есть функция эт:'ой первообразной, т.е. F{x) = u{G{x)). Тогда

f F{x)g{x)dx=

fu{G{x))G'{x)dx=

fu{G)dG.

Такого рода преобразование называется подведением под знак диф­ ференциала.

. Если метод избран удачно, то последний интеграл оказывается табличным или известным образом сводится к табличному.

ПРИМЕР. Найти неопределенный интеграл

/ ctgx In sin ж da:.

7.1. Интегрирование подведением под знак дифференциала

147

РЕШЕНИЕ.

1.Представим подынтегральное выражение в виде произведения двух функций F{x)g{x)^ где д{х) имеет очевидную первообразную

G{x), а F{x) есть функция этой первообразной, т.е. F{x) = u{G{x)). В данном случае

_. .

Insinx

,

. .

= cos ж,

_,. .

.

_. .

=

InG

.^.

t

[х) — —:

д\х)

G\x)

— sinx,

F\x)

- — = ii(G).

ЫП X

\JJ

2. Тогда

InsinX

,

rinsina:

, .

/*lnG

,^

/

—:

cos xdx

— /

—:

a sm ж =

/ -—- aG ,

sma:

}

smx

У

G

где G = sinx.

3. Последний интеграл не является табличным, но к нему снова

можно применить метод подведения под знак дифференциала:

/*lnG

,^

/*,

^

1

,^

/*!

^ ,1

^

In^G

_,

=

In^sinx

_,

/

-—dG=

/ InG —(iG=

/ l n G d l n G = ——

+С

+ С.

_

г

1 .

I

=

In^sinx

^

Ответ. J ctgx msmxdx

h G.

Условия ЗАДАЧ. Найти

неопределенные

интегралы.

^-

J

x^ + 1

''''•

sin 2х — cos X cZx.

У (CO

У

(жЗ+ 3x4-1)4

7

cos^x

5.

/

—-.

cZx.

6.

/

dx.

У

xvlnx

J

V1 -

a:^

/* X cos X + sin X

/* 2 ^rctg (x + 2)

J

(xsinx)^

"

J

x2-f4x + 5

dx.

9. / , l v | + l . . .

10.

[

^ _ ^

7 2xv^ + x	A / T - ^
	У ^/1 - - 2

148		Гл. 7. Неопределенный интеграл
Ответы.
1.	Q		2.	—	1		+ С.
	arctg^ ж + С.
				cos"^ X + sin X
3-	-WT-^—I	Т^^С.	4.	tg^x + C.
5.	2v\nx-\-C,		6. - a r c s i n x ^ - f C
7.	-;г7—:	TI + C'-	8.	arctg2(x + 2) + C.
	2(a:sina:)2
9.	1п(2ж^/ж + ж) + С.		10.	arcsin^ ж -		\/\-х^		+ С.

7.2. Интегрирование по частям

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти неопределенный интеграл

F{x)g{x) dx.

!•

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Пусть д{х) имеет очевидную первообразную G{x)^ а F[x) — дифференцируемая функция, причем ее производ­ ная /(ж) = F'{x) является более простой функцией, чем F{x). Тогда применяем формулу интегрирования по частям

I F{x)g{x) dx = F{x)G{x) ~ f f{x)G{x) dx.

Если метод избран удачно, то интеграл в правой части этого ра­ венства оказывается табличным или известным образом сводится к табличному, например, повторным интегрированием по частям.

ПРИМЕР. Найти неопределенный интеграл

I xdx

COS^ X

РЕШЕНИЕ.

1. Представим подынтегральное выражение в виде произведения двух функций F{x)g{x)j где д{х) имеет очевидную первообразную 0{х), а F{x) — дифференцируемая функция, причем ее производная f{x) = F'[x) является более простой функцией, чем F[x).

7.2. Интегрирование по частям					149
В данном случае
F ( x ) - x , 5{x) =	- i - ,	G(x) = tgx, f{x)^F'{x)			= l.
	cos^ a:
2. Применяем формулу интегрирования по частям
	X dx		С	tgxdx.
/	г— = xtga: -		У
	cos2 ж

3. Последний интеграл не является табличным, но к нему можно применить метод подведения под знак дифференциала:

tgxdx =	/	sin а: da: = — /	cos ж	d cos x •
/	J cos ж	J

	-{
о	f ^^^ — i
J	cos^x ~

In COS X + Ci		при	cos X > Oy
•ln(—cosa;) + C2		при	cosx < 0.
4- /	^^ ^^^ x + Ci	при	cos a: > 0,
\	ln(-cosa;)-f C2	при	cosa:<0.

Заметим, что если бы мы выбрали д{х) = ж, то, дифференцируя функцию F{x) = 1/ cos^ а; и применяя формулу интегрирования по частям, получили бы более сложный интеграл, чем исходный.

Условия ЗАДАЧ. Найти неопределенные интегралы.

1.	{х-\- 1)е^ dx,	2.	/	arcsina;da:.
3. / . ^sinxc^x .		4.	/ ( x ^ + 2x + 3)cosx.x.
5.	/ xinardx.	6.	/	—TT—dx.
	J		J	sin X
7.	e'^^cosxdx.	8.	/	x^ arctg x dx.

9^ / s i n b x . . .

10. / « ' e - ^ .