Использование линейного и динамического программирования в экономическом анализе

Применительно к экономическому анализу сущность линейного программирования можно сформулировать как совокупность математических приемов, позволяющих в условиях ограниченных ресурсов по принятому критерию оптимальности из всех возможных вариантов хозяйственных решений (или из всех вариантов плана действий) выбрать один (оптимальный) или несколько наилучших (рациональных) вариантов. С помощью методов линейного программирования исчисляют: оптимальную производительность машин, агрегатов, поточных линий, решаются задачи оптимального раскроя материалов и т.п. Все такие задачи отличаются альтернативностью решения и определенными ограничивающими условиями. Ценность их использования заключается в выборе оптимального из большого количества альтернативных вариантов.

Задача может быть сформулирована следующим образом: рассмотрим производство, в котором участвует N ингредиентов (производственные факторы, сырье, промежуточные и конечные продукты). Имеется r технологических способов производства товара. Каждый из способов характеризуется вектором

as = (as₁, as₂,... , as_N)

Положительные компоненты этого вектора показывают объем производства соответствующего ингредиента, отрицательные компоненты - затраты при применении способа с единичной интенсивностью. Например, аs =(-1, 2, -3) можно трактовать так: затрачивается 1 единица времени, производится 2 единицы продукта себестоимостью производства 3 единицы. Трактовка ингредиентов определяется физическим смыслом задачи. Оптимальный план определяется выбором вектора с неотрицательными компонентами, указывающими интенсивность применения различных технологических способов  = (x₁, x₂,...x_r), при котором товары и затраты характеризуются вектором

Если ^_i > 0, то i-й ингредиент производится; если же ^_i < 0, то расходуется в размере абсолютной величины.

Первые m < N ингредиентов представляют расходуемые ресурсы (оборудование, рабочая сила, материалы, денежные средства и т.д.), по ним задаются ограничения вида

Если b_i > 0, то соответствующий ингредиент производится; если b_i = 0, то соответствующий ингредиент не должен расходоваться; если b_i < 0, то соответствующий ингредиент расходуется и расход его не должен превзойти |b_i|

По остальным n = N - m ингредиентам необходимо добиваться максимального выпуска продукции с учетом требуемого ассортимента k_j =(k₁,k₂,...k_n), т.е.

Все другие задачи линейного программирования являются частным случаем этой общей задачи и могут быть сведены к ней.

Оптимальное решение может быть получено с помощью различных методов (последовательного улучшения плана или корректировки множителей Л.В.Канторовича, симплекс-метода или других методов в зависимости от класса сформулированной задачи).

Полученный оптимальный план может быть проанализирован. Экономический анализ позволяет выявить:

• дефицитные ресурсы (узкие места), это ресурсы, для которых выполняется равенство при i= 1,...,m;

• избыточные ресурсы, это ресурсы для которых выполняется неравенство при i= 1,...,m;

• объем избытка данного вида ресурса составляет величину

• дефицитную продукцию, это продукция, для которой выполняется равенство при j = 1,...,n;

• продукцию, которая производится в избытке; это продукция, для которой выполняется неравенство

при j = 1,...,n;

• объем избытка продукции данного вида составляет

• экономическую целесообразность внедрения в производство s₀-ого технологического способа; новый технологический способ экономически выгодно внедрять, если будет выполнено условие

• экономическую целесообразность увеличения отдельных видов дефицитных ресурсов на величину ɛ_io . В последнем случае необходимо решать новую задачу, в которой в качестве ограничения на дефицитный ресурс i₀ выступает неравенство

Если в результате решения новой задачи увеличится значение целевой функции, то увеличение объема этого вида ресурса экономически выгодно, в противном случае - нет. В первом случае одновременно определяется

где x_s^* - новое искомое оптимальное значение интенсивности использования технологических способов производства.

Возможности приобретения дополнительных дефицитных ресурсов представляют огромное поле для экономического анализа и выявления предпочтений их внедрения в производство.

Примером наиболее часто решаемой задачи нелинейного динамического программирования является задача логистики (оптимизация загрузки транспортного средства). В большинстве случаев такие задачи ЭВМ решает методом полного перебора вариантов. Более подробно данный класс задач изучается в курсе Логистики. Часть задач этого класса относится к задачам нахождения экстремума целевой функции.