Методичні вказівки до виконання лабораторної роботи

За даними, наведеними в табл. 11, будуємо графік залежності (кореляційне поле) факторної (ставка) і результативної ознаки (залучені ресурси) за допомогою MS Excel  опція “Мастер диаграмм” “Точечная” (рис. 6).

Рис. 6. Кореляційне поле.

Візуальний аналіз графіку дозволяє зробити припущення стосовно можливих форм аналітичних кривих, які апроксимують дискретний набір даних. Ці криві можуть бути описані такими рівняннями регресії:

1. Лінійна функція: ;

2. Логарифмічна функція: ;

3. Показникова функція: ;

4. Парабола: .

Дослідимо лінійну форму зв’язку та знайдемо невідомі параметри а₀ та а₁.

Стосовно даних, що аналізуються, для розв’язання системи нормальних рівнянь МНК складаємо розрахункову таблицю (табл. 12):

Таблиця 12

Розрахункова таблиця

Варіант депозитної угоди	Ставка по депозитах, % (х)	Обсяги залучених ресурсів, тис. у.о. (уф)
1	6	2,25	36,00	13,5	5,0625
2	7,5	3	56,25	22,5	9
3	7,5	2,1	56,25	15,75	4,41
4	9	3,45	81,00	31,05	11,9025
5	12	4,05	144,00	48,6	16,4025
6	15	6	225,00	90	36
7	12	3,45	144,00	41,4	11,9025
8	10,5	3,75	110,25	39,38	14,0625
9	16,5	9,9	272,25	163,35	98,01
10	9	2,55	81,00	22,95	6,5025
Разом	105	40,5	1206	488,48	213,26

За підсумковими даними табл. 12 складемо матриці:

, , .

Визначаємо обернену матрицю Х ( ) за допомогою функції МОБР MS Excel:

.

За допомогою функції МУМНОЖ MS Excel визначаємо параметри рівняння регресії:

.

Отримані значення параметрів та необхідні для синтезу математичної моделі залежності обсягів залучених ресурсів банком від розмірів ставок по депозитах. Підставляючи значення параметрів в рівняння регресії, маємо:

. (1)

Для використання моделі (1) в подальшому аналізі необхідно перевірити її на адекватність.

Для цього перевіримо параметри моделі на значущість за допомогою t-критерію Стьюдента. Складемо розрахункову табл. 13. Вирівняні значення отримаємо таким шляхом:

;

;

;

;

;

;

.

Таблиця 13

Розрахункова таблиця

N п/п	х	уф	ут
1	6	2,25	1,30	0,95	0,90	-4,5	20,25
2	7,5	3	2,22	0,78	0,61	-3	9
3	7,5	2,1	2,22	-0,12	0,01	-3	9
4	9	3,45	3,13	0,32	0,10	-1,5	2,25
5	12	4,05	4,97	-0,92	0,84	1,5	2,25
6	15	6	6,80	-0,80	0,64	4,5	20,25
7	12	3,45	4,97	-1,52	2,30	1,5	2,25
8	10,5	3,75	4,05	-0,30	0,09	0	0
9	16,5	9,9	7,72	2,18	4,77	6	36
10	9	2,55	3,13	-0,58	0,34	-1,5	2,25
Разом	105	40,5	40,5	Х	10,61	Х	103,5

Визначаємо середньоквадратичне відхилення результативної ознаки від вирівняного значення :

.

Визначаємо фактичне значення t-критерію для параметра а₀:

.

При визначаємо середньоквадратичне відхилення факторної ознаки х_і від загальної середньої :

.

Визначаємо фактичне значення t-критерію для параметра а₁:

.

Враховуючи прийняті в економіко-статистичних дослідженнях значеннях і числі ступеней свободи табличне критичне значення .

Порівнюючи фактичні й табличне значення t-критерію можна стверджувати про значущість обчислених параметрів: , .

На наступному етапі здійснимо оцінку значущості коефіцієнта кореляції та коефіцієнта детермінації. За допомогою функції КОРРЕЛ MS Excel обчислюємо значення . Отримане значення свідчить, що встановлений за рівнянням регресії зв’язок між ставками по депозитах та обсягами залучених ресурсів комерційним банком є високим. Порівняємо отримане значення r із табличним. Для n=10 , а отже, умова виконується, що свідчить про значущість коефіцієнта кореляції.

(Оцінку значущості коефіцієнта кореляції можна здійснювати за t-критерієм.

Фактичне значення цього критерію визначається за формулою:

.

При критичному (табличному) значенні отримуємо, що . Тому обчислений коефіцієнт кореляції є значущим.)

Значення коефіцієнта детермінації свідчить, що 78,5% загальної варіації пояснюється зміною факторної ознаки. Порівняння отриманого значення d із критичним для рівня істотності =0,05 та чисел ступенів свободи , дозволяє зробити висновок про виконання умови (0,785>0,399), тобто коефіцієнт детермінації є значущим.

Перевіримо значущість зв’язку за допомогою F – критерію.

.

Табличне значення . Отже, умова виконується, тобто зв’язок є значущим.

Таким чином, три розглянуті показники дали позитивний результат, що дозволяє зробити висновок: синтезована математична модель (1) може бути визнана адекватною (використана для практичних цілей).

Перевіримо точність синтезованої за рівнянням лінійної регресії моделі за допомогою показників середнього квадратичного відхилення та середньої відносної похибки апроксимації (див. табл. 14):

Таблиця 14

Розрахункові дані

N п/п	уф	ут
1	2,25	1,30	42,17
2	3	2,22	26,09
3	2,1	2,22	5,59
4	3,45	3,13	9,17
5	4,05	4,97	22,62
6	6	6,80	13,32
7	3,45	4,97	43,95
8	3,75	4,05	8,00
9	9,9	7,72	22,07
10	2,55	3,13	22,89
Разом	40,5	40,50	215,87

Середнє квадратичне відхилення . Обчислене значення середньої похибки апроксимації , а отже, свідчить про недостатню точність моделі. Це також ілюструє рис. 7, на якому спостерігається значне відхилення у_ф та у_т.

Рис. 7. Графік фактичних та вирівняних за моделлю значень результативної ознаки^

Аналогічно лінійній дослідимо логарифмічну форму зв’язку та знайдемо невідомі параметри а₀ та а₁.

За аналогічними до лінійної функції розрахунками отримаємо математичну модель залежності обсягів залучених ресурсів банком від розмірів ставок по депозитах, яка має вигляд:

. (2)

Перевіримо значущість параметрів моделі:

;

.

Порівнюючи фактичні й табличне значення t-критерію при та числа ступеней свободи можна стверджувати про значущість обчислених параметрів: , .

Оцінка значущості коефіцієнта детермінації для рівняння регресії нелінійного зв’язку (2.12), здійснюється за допомогою індексу кореляції :

.

Отриманий індекс кореляції означає, що встановлений за рівнянням регресії зв’язок між ставками по депозитах та обсягами залучених ресурсів комерційним банком є високим.

Значення коефіцієнта детермінації показує, що 68,3% загальної варіації пояснюється зміною факторної ознаки х. Порівняння отриманого значення d із критичним для рівня істотності =0,05 та чисел ступенів свободи , дозволяє зробити висновок про виконання умови (0,683>0,399), тобто коефіцієнт детермінації є значущим.

Оцінка значущості зв’язку здійснюється за F-критерієм:

.

При рівні значущості , ступенях свободи і табличне значення .

Відповідно, при зв’язок визнається значущим.

Отже, математична модель (2) за рівнянням логарифмічної функції може бути визнана адекватною.

Перевірка точності синтезованої за рівнянням логарифмічної функції моделі здійснюється за допомогою показників середнього квадратичного відхилення та середньої відносної похибки апроксимації .

Середнє квадратичне відхилення . Обчислене значення середньої похибки апроксимації , а отже, свідчить про недостатню точність моделі. Це також ілюструє рис. 8, на якому спостерігається значне відхилення у_ф та у_т.

Таблиця 15

Розрахункові дані

N п/п	уф	ут
1	2,25	0,97	56,925
2	3	2,31	23,033
3	2,1	2,31	9,952
4	3,45	3,40	1,342
5	4,05	5,13	26,693
6	6	6,47	7,848
7	3,45	5,13	48,726
8	3,75	4,33	15,448
9	9,9	7,04	28,857
10	2,55	3,40	33,479
Разом	40,5	40,50	252,303

Для дослідження показникової функції та визначення її невідомих параметрів необхідно здійснити такі обчислення.

За розрахунками отримаємо математичну модель залежності обсягів залучених ресурсів банком від розмірів ставок по депозитах, яка має вигляд:

; (3)

. (4)

Рис. 8. Графік фактичних та вирівняних за моделлю значень результативної ознаки

Перевіримо значущість параметрів моделі. При та фактичні значення критерію визначаються як:

;

.

Порівнюючи фактичні й табличне значення t-критерію при та числа ступенів свободи можна стверджувати про значущість обчислених за рівнянням (4) параметрів: , .

Оцінка значущості коефіцієнта детермінації моделі (4) здійснюється за допомогою індексу кореляції:

.

Це означає, що зв’язок між ставками по депозитах та обсягами залучених ресурсів комерційним банком, який встановлений за рівнянням регресії, є досить високим.

Значення коефіцієнта детермінації показує, що 87,2% загальної варіації пояснюється зміною факторної ознаки х. Порівняння отриманого значення d із критичним для рівня істотності =0,05 та чисел ступенів свободи , дозволяє зробити висновок про виконання умови (0,872>0,399), тобто коефіцієнт детермінації є значущим.

Для оцінки значущості зв’язку за формулою визначається фактична величина критерія Фішера :

.

При рівні значущості , ступенях свободи і табличне значення .

Відповідно, при зв’язок визнається значущим.

Тому синтезована за рівнянням показникової функції математична модель (4) є адекватною.

Перевірка точності синтезованої за рівнянням показникової функції моделі здійснюється за допомогою показників середнього квадратичного відхилення та середньої відносної похибки апроксимації (див. табл. 16):

Таблиця 16

Розрахункові дані

N п/п	уф	ут
1	2,25	2,027	9,915
2	3	2,459	18,024
3	2,1	2,459	17,108
4	3,45	2,984	13,511
5	4,05	4,393	8,459
6	6	6,466	7,774
7	3,45	4,393	27,322
8	3,75	3,620	3,457
9	9,9	7,846	20,750
10	2,55	2,984	17,014
Разом	40,5	39,631	143,335

Середнє квадратичне відхилення . Обчислене значення середньої похибки апроксимації , а отже, характеризує достатню точність моделі. Це також ілюструє рис. 9, на якому спостерігається незначне відхилення у_ф та у_т.

Рис. 9. Графік фактичних та вирівняних за моделлю значень результативної ознаки

Дослідимо квадратичну форму зв’язку (параболу) та знайдемо невідомі параметри а₀ та а₁ у рівнянні . За відповідними розрахунками отримаємо математичну модель залежності обсягів залучених ресурсів банком від розмірів ставок по депозитах, яка має вигляд:

. (5)

Перевіримо значущість параметрів а₀ та а₁ моделі:

;

Порівнюючи фактичні й табличне значення t-критерію при та числа ступeней свободи можна стверджувати про значущість обчислених за рівнянням параметрів: , .

Оцінка значущості зв’язку моделі (5) здійснюється за допомогою індексу кореляції :

.

Отриманий індекс кореляції означає, що встановлений за рівнянням регресії зв’язок між ставками по депозитах та обсягами залучених ресурсів комерційним банком є досить високим.

Значення коефіцієнта детермінації показує, що 92,4% загальної варіації пояснюється зміною факторної ознаки х. Порівняння отриманого значення d із критичним для рівня значущості =0,05 та чисел ступенів свободи , дозволяє зробити висновок про виконання умови (0,924>0,399), тобто коефіцієнт детермінації є значущим.

Оцінка значущості коефіцієнта детермінації здійснюється за F-критерієм:

.

При рівні значущості і ступенях свободи і табличне значення .

Відповідно, при зв’язок визнається значущим.

Таким чином, математична модель (5) за рівнянням параболи може бути визнаною адекватною.

Перевірка точності синтезованої за рівнянням параболи моделі здійснюється за допомогою показників середнього квадратичного відхилення та середньої відносної похибки апроксимації (див. табл. 17).

Середнє квадратичне відхилення . Обчислене значення середньої похибки апроксимації , а отже свідчить про достатню точність моделі. Це також підтверджує рис. 10, на якому спостерігається незначне відхилення графіків у_ф та у_т.

Таблиця 17

Розрахункові дані

N п/п	уф	ут
1	2,25	2,721	20,943
2	3	2,498	16,740
3	2,1	2,498	18,943
4	3,45	2,652	23,143
5	4,05	4,091	1,003
6	6	7,038	17,306
7	3,45	4,091	18,568
8	3,75	3,183	15,133
9	9,9	9,078	8,304
10	2,55	2,652	3,983
Разом	40,5	40,50	144,065

Рис. 10. Графік фактичних та вирівняних за моделлю значень результативної ознаки

Таким чином, проведений аналіз початкових даних (табл. 18) свідчить про адекватність усіх розглянутих моделей. Серед адекватних моделей обираємо найточнішу за показниками суми квадратів відхилень у_ф та у_т (за МНК), середнього квадратичного відхилення та середньої відносної похибки апроксимації (табл. 18):

Таблиця 18

Підсумкова таблиця

Модель
	10,61	1,152
	15,61	1,397
	6,337	0,889
	3,77	0,734

Дані табл. 18 свідчать, що за критерієм відносної середньої похибки апроксимації ( ) перевагу необхідно віддати моделі (4).

Проведемо економічний аналіз отриманих результатів за обраною моделлю.

Розрахуємо коефіцієнт еластичності за формулою:

.

Коефіцієнт еластичності Е свідчить про те, що збільшення ставки за депозитною угодою на 1% збільшить обсяги залучених ресурсів на 2,66 %.

Висновки: Застосовуючи кореляційно-регресійний аналіз, побудовано модель зв’язку між ставками за депозитними угодами, які пропонує комерційний банк, та обсягами залучених ресурсів від клієнтів. У ході аналізу за допомогою індексу кореляції доведено, що між ставками та обсягами залучених ресурсів існує досить тісний зв’язок, про що свідчить значення . Коефіцієнт детермінації показав, що 87,2% загальних коливань обсягів ресурсів пояснюється впливом на них депозитних ставок, а інші 12,8% коливань – впливом інших факторів, що не досліджені в моделі.

Модель визнана адекватною, про що свідчить перевірка типовості (надійності) параметрів і статистичних характеристик моделі за допомогою t–критерію Стьюдента, перевірка істотності коефіцієнта детермінації, а також перевірка істотності зв’язку за допомогою F – критерію.

Модель перевірена на точність. Значення показника середньої відносної похибки апроксимації 14,33% задовольняє умові точності економічних моделей.

Здійснена економічна інтерпретація моделі, в результаті чого визначено, що збільшення ставки за депозитною угодою на 1% збільшить обсяги залучених ресурсів на 2,66 %.