Проблема формирования понятия о натуральном числе

План

1. Математика и предматематика.

2. Функции натурального числа.

3. Возможные подходы к введению понятия натурального числа.

4. Анализ проблемы отбора содержания дочисловой подготовки.

5. Основные направления дочисловой подготовки.

6. Разнообразие видов упражнений.

Литература: [1], п.3

1. Математика и предматематика

Математическая наука - очень полезная для человечества (и для каждого человека) игра со словами: несуществующими в природе понятиями, суждениями об этих абстрактных понятиях, соответствующими умозаключениями. Поскольку в математике играют не с реальными объектами, а с абстрактными, идеальными, существующими только в сознании человека, то и методы их изучения не могут быть связаны с непосредственным наблюдением, опытом, практикой. Основным правилом этой игры была объявлена глобальная дедукция – получение новых «слов» из точных и однозначно сформулированных определений, аксиом, ранее доказанных теорем путем дедуктивного вывода.

Математика – это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Отличительные признаки этой науки:

1) оперирует абстрактными, идеальными понятиями;

2) использует собственный символический язык, который позволяет ясно, точно и кратко излагать и передавать информацию;

3) основным методом организации математических знаний в систему является дедукция (логический вывод из уже известного новых знаний, без какой бы то ни было опоры на опыт, практику, наглядность).

Очевидно, что в силу возрастных особенностей младших школьников в начальной школе нет объективных условий для изучения собственно математики. Здесь изучают предматематику.

Ее характерные признаки:

1) большинство понятий, рассматриваемых в предматематике, являются одноступенчатыми абстракциями своих реальных прообразов (например, «круг», «два», «больше», «равно»);

2) математические предложения не классифицируются на определения, аксиомы, теоремы;

3) в качестве аргументов доказательства используются ссылки на опыт и непосредственную проверку (например, a,b – натуральные числа a+b=b+a);

4) дедуктивные доказательства занимают незначительное место и включают всего один-два(три) шага.

Изучение предматематики закладывает основы для изучения математики как дедуктивной системы знаний. Это полностью отражает принцип историзма, так как возникновению математической науки предшествовала многотысячелетняя практика накопления материала для обобщения, абстрагирования, систематизации.

2. Функции натурального числа

Что называется натуральным числом? Какие у него функции (назначения)?

Функции натурального числа:

1) количественная (сколько?);

2) порядковая (который?);

3) операторная (сколько раз надо выполнить операцию?);

4) значение величины.

В обучении раскрываются все функции натурального числа, но не одновременно, а последовательно. В зависимости от того, какую из них избирают в качестве исходной, и существуют различные подходы к введению понятия числа.

3. Возможные подходы к введению понятия натурального числа

1. Теоретико-множественный (количественная функция)

{A~B~C~…~Z}→n(A) = a, где А, В, С, … - конечные множества.

2. Натуральные числа - числа, которые используются при счете.

Вспомните аксиомы Пеано (порядковая функция).

3. На основе сравнения и измерения величин.

В этом случае появляется возможность введения понятия действительного числа. Натуральное - частный случай, когда a=ne, где а- измеряемая величина, е - единица ее измерения, n – результат измерения. Такой подход реализуется в технологии развивающего обучения Эльконина-Давыдова.

4. Операторный (в учебных пособиях А.А. Ходовой).