Часть I. Теория

Глава 1. Аналитическая геометрия 1.1. Прямая на плоскости

Меню	Назад Вперёд

1.1. Прямая на плоскости

1.1.1.Декартовы координаты

1.1.2.Уравнение прямой с угловым коэффициентом

1.1.3.Уравнение прямой, проходящей через данную точку, с данным угловым коэффициентом

1.1.4.Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

1.1.5.Общее уравнение прямой

1.1.6.Неполные уравнения первой степени. Уравнение прямой «в отрезках»

1.1.7.Угол между двумя прямыми

1.1.8.Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

1.1.9.Расстояние от точки до прямой

1.1.10.Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Часть I. Теория
Глава 1. Аналитическая геометрия
1.1. Прямая на плоскости
Меню 1.1.1. Декартовы координаты	Назад Вперёд

1.1.1. Декартовы координаты

Декартова прямоугольная система координат позволяет дать числовое представление каждой точке плоскости . Для этого на плоскости проводится пара взаимно перпендикулярных прямых, называемых осями координат, на каждой из которых задаётся положительное направление. Первую из них называют осью абсцисс и обозначают , а вторую — осью ординат и обозначают . Точка их пересечения называется началом координат. Оси координат делят плоскость на четыре части — квадранты (смотрите рисунок 1.1).

y

y

II квадрант

I квадрант

y

b

M(x, y)

O

x

1

III квадрант

IV квадрант

O

1

x

x

Рисунок 1.1

Рисунок 1.2

На каждой из осей выбирается единичный отрезок, задающий масштаб чертежа. Эти отрезки могут как совпадать, так и различаться по длине. Теперь всякой точке плоскости можно поставить в соответствие упорядоченную пару чисел и , называемых координатами (смотрите рисунок 1.2), причём первое число называется абсциссой, а второе число — ординатой точки . И обратно, каждой паре чисел ( , ) можно сопоставить точку плоскости ( , ). Это позволяет отождествить упорядоченные пары чисел и точки плоскости.

Часть I. Теория

Глава 1. Аналитическая геометрия 1.1. Прямая на плоскости

Меню 1.1.1. Декартовы координаты

Назад Вперёд

Расстояние между точками 1( 1, 1) и 2( 2, 2) плоскости определяется по формуле

√

=

( 2 − 1)2 + ( 2 − 1)2,

(1.1)

справедливость которой следует из теоремы Пифагора (смотрите рисунок 1.3).

y			M2		y
y2		b
	d		y2 − y1	B	b
y1	M1
	b						x
	x2 − x1			O		Cb
				b
O	x1	x2	x	A
	Рисунок 1.3					Рисунок 1.4

Пример 1.1. Показать, что треугольник с вершинами (−3, −3), (−1, 3),(11, −1) (смотрите рисунок 1.4) прямоугольный.

Решение. По формуле (1.1) найдём длины сторон треугольника:

	√
=		(11 + 1)2	+ ( 1 − 3)2		= √160,
= (−1 + 3)2			+ (3 + 3)2 = √40,
	√
			−		= √				.
		(11 + 3)2	+ ( 1 + 3)2
=							200
Так как	√		−

2 + 2 = 40 + 160 = 200 = 2,

то сумма квадратов длин двух сторон треугольника равна квадрату длины третьей стороны. Отсюда заключаем, что треугольник прямоугольный и сторона является гипотенузой.

Часть I. Теория
Глава 1. Аналитическая геометрия
1.1. Прямая на плоскости
Меню 1.1.1. Декартовы координаты	Назад Вперёд

Точка ( , ), делящая отрезок между точками 1( 1, 1) и 2( 2, 2)

в отношении = 1 > 0, имеет координаты

2

=	1 + 2	,	=	1 + 2	.	(1.2)
	1 +
				1 +

В частности, при = 1 получаются формулы для координат середины отрезка

	=	1 + 2	,	=	1 + 2	.	(1.3)
		2			2

Пример 1.2. Известны концы (2, −3) и (14, 3) отрезка . На этом отрезке находится точка , расстояние которой от в два раза больше расстояния от (смотрите рисунок 1.5). Определить координаты точки .

y

B

3

b

1

C

b

O

1 2

10

14

x

−3

b

A

Рисунок 1.5

Решение. Так как = 2 , то = = 2. По формуле (1.2)

	=	2 + 2 · 14	= 10,	=	−3 + 2 · 3	= 1,
		1 + 2			1 + 2

поэтому точка имеет координаты (10, 1).

Часть I. Теория
Глава 1. Аналитическая геометрия
1.1. Прямая на плоскости
Меню 1.1.1. Декартовы координаты							Назад Вперёд
Площадь треугольника с вершинами					( 1, 1),	( 2, 2) и
( 3, 3) определяется по формуле
1		( 2 − 1)( 3 − 1) − ( 3		− 1)( 2	− 1) .		(1.4)
=
	2
Пример 1.3. Найти		площадь	треугольника	с	вершинами		в точках

(−2, −4), (2, 8), (10, 2).

Решение. По формуле (1.4)

= 12 (2 + 2)(2 + 4) − (10 + 2)(8 + 4) = 12 24 − 144 = 60 кв.ед.