- •Общая информация
- •Методические указания
- •Комплект поставки, требования к системе, процедура запуска
- •Принцип построения и структура
- •Знакомство с ЭУМК
- •Рекомендации для преподавателя
- •Лекции
- •Организация практических занятий
- •Тесты
- •Рекомендации для студента
- •Изучение теоретического материала
- •Практические занятия
- •Тесты
- •Типовые программы курсов
- •Указатель по направлениям и специальностям
- •Список учебных программ
- •Рекомендуемая литература
- •Часть I. Теория
- •Глава 1. Аналитическая геометрия
- •1.1. Прямая на плоскости
- •1.1.1. Декартовы координаты
- •1.1.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •1.1.3. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
- •1.1.4. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
- •1.1.5. Общее уравнение прямой
- •1.1.7. Угол между двумя прямыми
- •1.1.8. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •1.1.9. Расстояние от точки до прямой
- •1.1.10. Взаимное расположение двух прямых на плоскости
- •1.2. Кривые второго порядка
- •1.2.1. Окружность
- •1.2.2. Эллипс
- •1.2.3. Гипербола
- •1.2.4. Парабола
- •1.2.5. Кривые второго порядка со смещенным центром
- •Глава 2. Предел последовательности и функции
- •2.1. Предел числовой последовательности
- •2.1.1. Числовая последовательность
- •2.1.2. Предел последовательности
- •2.1.3. Бесконечно малые последовательности
- •2.1.4. Бесконечно большие последовательности
- •2.1.5. Сходящиеся последовательности
- •2.1.6. Предельный переход в неравенствах
- •2.1.7. Монотонные последовательности
- •2.1.8. Непрерывное начисление процентов
- •2.2. Функциональная зависимость
- •2.2.1. Понятие функции
- •2.2.2. Способы задания функции.
- •2.2.3. Основные характеристики функций
- •2.2.4. Понятие обратной и сложной функции
- •2.2.5. Элементарные функции
- •2.2.6. Построение графиков функций
- •2.2.7. Функциональная зависимость в экономике
- •2.3. Предел функции. Два замечательных предела
- •2.3.1. Предел функции по Гейне
- •2.3.2. Предел функции по Коши
- •2.3.3. Односторонние пределы
- •2.3.4. Бесконечно малые функции
- •2.3.5. Бесконечно большие функции
- •2.3.6. Свойства предела функции
- •2.3.7. Признак существования предела функции
- •2.3.8. Замечательные пределы
- •2.3.9. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •2.4. Непрерывные функции
- •2.4.1. Непрерывность функции в точке
- •2.4.2. Теоремы о непрерывных в точке функциях
- •2.4.3. Точки разрыва и их классификация
- •2.4.4. Непрерывность элементарных функций
- •2.4.5. Теоремы о непрерывных на отрезке функциях
- •Глава 3. Теория дифференцирования
- •3.1. Производная. Вывод таблицы
- •3.1.1. Понятие производной
- •3.1.2. Геометрический смысл производной
- •3.1.3. Физический смысл производной
- •3.1.4. Правила дифференцирования
- •3.1.5. Таблица производных основных элементарных функций. Производная сложной и обратной функции
- •3.1.6. Логарифмическая производная
- •3.1.7. Производная неявной функции
- •3.1.8. Производные высших порядков
- •3.1.9. Применения производной в экономике
- •3.2.1. Понятие дифференцируемости функции в точке
- •3.2.2. Дифференциал функции и приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •3.2.3. Геометрический смысл дифференциала
- •3.2.4. Теоремы о среднем
- •3.3. Правила Лопиталя. Формула Тейлора
- •3.3.1. Правила Лопиталя
- •3.3.2. Формула Тейлора
- •3.4. Исследование функции с помощью производной
- •3.4.1. Условие постоянства функции.
- •3.4.2. Достаточное условие монотонности функции.
- •3.4.3. Необходимые и достаточные условия локального экстремума
- •3.4.4. Наибольшее и наименьшее значения функции
- •3.4.5. Выпуклые функции
- •3.4.6. Асимптоты графика функции
- •3.4.7. Общая схема исследования поведения функций и построения графиков функций
- •Глава 4. Теория интегрирования
- •4.1. Неопределенный интеграл
- •4.1.1. Первообразная
- •4.1.2. Неопределенный интеграл
- •4.1.3. Таблица интегралов
- •4.1.4. Простейшие методы интегрирования
- •Метод интегрирования подстановкой (замена переменной)
- •Метод интегрирования по частям
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •4.2. Интегрирование классов функций
- •4.2.1. Интегрирование рациональных функций
- •4.2.2. Интегрирование иррациональных функций
- •Простейшие случаи
- •Более сложные случаи
- •4.2.3. Тригонометрические интегралы
- •4.3. Определенный интеграл
- •4.3.1. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции
- •4.3.2. Свойства определенного интеграла
- •4.3.3. Оценки интегралов. Теорема о среднем значении.
- •4.3.4. Необходимое условие интегрируемости функции
- •4.3.5. Достаточные условия интегрируемости
- •4.3.6. Интеграл с переменным верхним пределом. Существование первообразной для непрерывной функции.
- •4.3.8. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •4.4.1. Площадь криволинейной трапеции.
- •4.4.2. Длина дуги кривой
- •4.4.3. Объем тела вращения
- •4.4.4. Использование понятия определенного интеграла в экономике
- •4.5. Несобственные интегралы.
- •4.5.1. Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования.
- •4.5.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
- •Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
- •5.1. Функция двух переменных. Дифференциал
- •5.1.1. Определения
- •5.1.2. Предел функции двух переменных
- •5.1.3. Непрерывность функции двух переменных
- •5.1.4. Частные производные
- •Геометрический смысл частных производных
- •5.1.5. Частные производные высших порядков
- •5.1.6. Дифференцируемость и дифференциал
- •5.1.7. Производная сложной функции
- •5.1.8. Производная по направлению. Градиент
- •5.1.9. Производственная функция Кобба — Дугласа
- •5.2. Экстремум функции двух переменных
- •5.2.1. Локальный экстремум
- •5.2.2. Глобальный экстремум
- •5.2.3. Условный экстремум
- •5.2.4. Метод множителей Лагранжа
- •5.2.5. Экстремум выпуклых функций
- •5.2.6. Функция полезности
- •Глава 6. Дифференциальные уравнения
- •6.1.1. Общее дифференциальное уравнение (ДУ) первого порядка.
- •6.1.2. Составление дифференциальных уравнений.
- •6.1.3. ДУ с разделяющимися переменными.
- •6.2. Дифференциальные уравнения первого порядка и их решение
- •6.2.1. Однородные ДУ первого порядка.
- •6.2.2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •6.2.3. Уравнение Бернулли.
- •Глава 7. Ряды
- •7.1. Числовые ряды
- •7.1.1. Понятие числового ряда.
- •7.1.2. Необходимое условие сходимости числового ряда.
- •7.1.3. Достаточные условия сходимости.
- •7.1.4. Абсолютная и условная сходимость.
- •7.2. Функциональные ряды. Область сходимости
- •7.3. Степенные ряды. Формула Тейлора
- •Глава 8. Линейная алгебра
- •8.1. Матрицы и определители
- •8.1.1. Понятие матрицы. Виды матриц
- •8.1.2. Операции над матрицами
- •8.1.3. Определители
- •8.1.4. Свойства определителей
- •8.1.5. Элементарные преобразования
- •8.1.6. Обратная матрица
- •8.1.7. Матричные уравнения
- •8.1.8. Ранг матрицы
- •8.2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •8.2.1. Основные понятия
- •8.2.2. Матричный метод
- •8.2.3. Метод Крамера
- •8.2.4. Метод Гаусса
- •8.2.5. Критерий Кронекера — Капелли
- •8.2.6. Экономическая модель Леонтьева
- •8.3. Векторная алгебра
- •8.3.1. Векторы в пространстве
- •8.3.2. Скалярное произведение векторов
- •8.3.4. Линейная зависимость векторов
- •8.3.5. Базис и ранг системы векторов
- •8.3.6. Ортогональные системы векторов
- •8.3.7. Фундаментальные системы решений
- •8.3.8. Собственные векторы и значения
- •Предметный указатель
- •Другие
- •Определения
- •Абсолютно сходящийся ряд
- •Абсолютно сходящийся функциональный ряд
- •Алгебраическое дополнение
- •Арифметические операции с последовательностями
- •Асимптоты гиперболы
- •Базисный минор
- •Бесконечно большая последовательность
- •Бесконечно большие функции
- •Бесконечно малая последовательность
- •Бесконечно малые функции
- •Бюджетное множество
- •Вектор валового выпуска
- •Вектор конечного продукта
- •Вектор предельных полезностей
- •Вектор-столбец и вектор-строка
- •Вертикальная асимптота
- •Вершина параболы
- •Вершины гиперболы
- •Вершины эллипса
- •Возрастающая и убывающая последовательности
- •Возрастающая и убывающая функции
- •Второй замечательный предел
- •Выпуклая вверх (выпуклая) функция
- •Выпуклая вниз (вогнутая) функция
- •Выпуклое множество
- •Выпуклые функции
- •Гаусса метод
- •Гипербола
- •Градиент
- •График функции двух переменных
- •График функции
- •Диагонали матрицы
- •Диагональная матрица
- •Директриса параболы
- •Дифференциал функции двух переменных
- •Дифференциал
- •Дифференциальное уравнение Бернулли
- •Дифференциальное уравнение первого порядка
- •Дифференциальное уравнение с разделенными переменными
- •Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
- •Дифференциальный бином
- •Дифференцирование
- •Дифференцируемая функция
- •Дифференцируемость функции двух переменных
- •Единичная матрица
- •Задача Коши
- •Знакочередующийся ряд
- •Изокванты
- •Интеграл с переменным верхним пределом
- •Интегральная кривая дифференциального уравнения
- •Интегральная кривая
- •Интегральная сумма
- •Интегрирование дифференциального уравнения
- •Интервал монотонности
- •Интервал сходимости
- •Касательная
- •Квадратная матрица
- •Классификация точек разрыва
- •Крамера метод и формулы
- •Кривые безразличия
- •Критическая точка
- •Левый предел
- •Линейное дифференциальное уравнение
- •Линии первого порядка
- •Линии уровня
- •Линия на плоскости
- •Логарифмическая производная
- •Локальные минимум и максимум функции двух переменных
- •Локальный максимум
- •Локальный минимум
- •Локальный экстремум функции двух переменных
- •Локальный экстремум
- •Матрица прямых затрат
- •Матрицы
- •Матричная форма системы линейных уравнений
- •Матричные уравнения
- •Матричный метод решения системы линейных уравнений
- •Минор матрицы
- •Минор элемента матрицы
- •Многочлен Тейлора
- •Многочлен от квадратной матрицы
- •Монотонная последовательность
- •Монотонная функция
- •Наклонная асимптота
- •Направление
- •Направляющие косинусы
- •Невырожденная и вырожденные матрицы
- •Неограниченная последовательность
- •Неограниченная функция
- •Неопределенный интеграл
- •Неправильная рациональная функция
- •Непрерывная в области функция
- •Непрерывная на отрезке функция
- •Непрерывность функции двух переменных по одной из переменных
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Непрерывность функции на языке приращений
- •Непрерывность функции
- •Непрерывность функций двух переменных на языке приращений
- •Непрерывные справа и слева функции
- •Несобственный интеграл второго рода
- •Несобственный интеграл первого рода
- •Неэлементарные функции
- •Неявная функция
- •Нормаль
- •Нулевая матрица
- •Нулевое решение однородной системы линейных уравнений
- •Область сходимости
- •Обратная матрица
- •Обратная функция
- •Общее решение дифференциального уравнения
- •Общее уравнение прямой
- •Общий интеграл
- •Ограниченная последовательность
- •Ограниченная функция
- •Одноресурсная производственная функция
- •Однородная функция
- •Однородное дифференциальное уравнение
- •Однородные и неоднородные системы линейных уравнений
- •Однородные функции
- •Односторонние пределы на бесконечности
- •Односторонние пределы
- •Окрестность точки на плоскости
- •Окрестность точки
- •Окружность
- •Определённая и неопределённая системы
- •Определенный интеграл
- •Определители второго порядка
- •Определители первого порядка
- •Определители третьего порядка
- •Определитель произвольного порядка
- •Оси гиперболы
- •Оси эллипса
- •Основная матрица системы
- •Основной прямоугольник гиперболы
- •Особое решение дифференциального уравнения
- •Остаток числового ряда
- •Остаточный член в форме Лагранжа
- •Ось параболы
- •Парабола
- •Параметр параболы
- •Первообразная
- •Первый замечательный предел
- •Перестановочные матрицы
- •Периодическая функция
- •Полное приращение функции
- •Полуоси гиперболы
- •Полуоси эллипса
- •Последовательность числовая
- •Постоянная последовательность
- •Постоянная функция
- •Правильная рациональная функция
- •Правый предел
- •Предел последовательности
- •Предел функции двух переменных на языке окрестностей
- •Предел функции двух переменных по Гейне
- •Предел функции двух переменных по Коши
- •Предел функции на бесконечности
- •Предел функции на языке окрестностей
- •Предел функции по Гейне
- •Предел функции по Коши
- •Предельная производительность труда
- •Предельная фондоотдача
- •Предельные полезности
- •Приращение аргумента и функции
- •Приращение функции по направлению
- •Присоединённая матрица
- •Произведение матриц
- •Произведение матрицы на число
- •Производная второго порядка
- •Производная по направлению
- •Производная
- •Производственная функция Кобба — Дугласа
- •Производственная функция
- •Простейшие рациональные дроби
- •Противоположная матрица
- •Равенство матриц
- •Равнобочная гипербола
- •Равномерно сходящийся функциональный ряд
- •Радиус сходимости
- •Разность матриц
- •Ранг матрицы
- •Расширенная матрица системы
- •Рациональные функции
- •Решение дифференциального уравнения
- •Решение системы уравнений
- •Ряд матрицы
- •Система линейных уравнений
- •Сложная функция
- •Смешанные производные
- •Совместные и несовместные системы уравнений
- •Согласованные матрицы
- •Соотношения баланса
- •Сопряженные гиперболы
- •Стационарная точка
- •Стационарные точки функции двух переменных
- •Степенной ряд
- •Степень квадратной матрицы
- •Строго возрастающая и строго убывающая последовательности
- •Строго возрастающие и строго убывающие функции
- •Строго монотонная последовательность
- •Строго монотонная функция
- •Ступенчатая матрица
- •Сумма матриц
- •Сходимость в точке
- •Сходящаяся и расходящаяся последовательности
- •Сходящийся несобственный интеграл
- •Сходящийся числовой ряд
- •Таблица эквивалентностей
- •Точка безубыточности
- •Точка перегиба
- •Точка разрыва функции двух переменных
- •Точка рыночного равновесия
- •Точка спроса
- •Точки локального условного максимума и минимума
- •Точки разрыва
- •Транспонированная матрица
- •Треугольная матрица
- •Угловой коэффициент прямой
- •Угол между прямыми
- •Угол наклона прямой
- •Уравнение линии
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Уравнение, записанное в дифференциалах
- •Уравнение, разрешенное относительно производной
- •Условно сходящийся ряд
- •Условный экстремум
- •Фокальные радиусы гиперболы
- •Фокальные радиусы эллипса
- •Фокальный радиус параболы
- •Фокус параболы
- •Фокусы гиперболы
- •Фокусы эллипса
- •Формула Маклорена
- •Формула Тейлора
- •Функции спроса и предложения
- •Функциональный ряд
- •Функция Лагранжа
- •Функция выручки
- •Функция двух переменных
- •Функция издержек
- •Функция полезности двух товаров
- •Функция полезности
- •Функция прибыли
- •Функция спроса на товары
- •Функция
- •Центр гиперболы
- •Центр эллипса
- •Частичная сумма ряда
- •Частное и общее решения системы уравнений
- •Частное приращение функции
- •Частное решение дифференциального уравнения
- •Частные производные второго порядка
- •Частные производные
- •Четные и нечетные функции
- •Числовая функция
- •Числовой ряд
- •Эквивалентные бесконечно малые функции
- •Эквивалентные матрицы
- •Эквивалентные системы уравнений
- •Эксцентриситет гиперболы
- •Эксцентриситет эллипса
- •Эластичность функции двух переменных
- •Эластичность
- •Элементарные преобразования
- •Элементарные функции
- •Элементы матрицы
- •Эллипс
- •Эпсилон-окрестность на плоскости
- •Доказательства теорем
- •Часть II. Задачи
- •Глава 1. Аналитическая геометрия
- •1.1. Прямая на плоскости
- •1.1.1. Общие задачи
- •1.1.2. Экономика
- •1.2. Кривые второго порядка
- •1.2.1. Общие задачи
- •Глава 2. Теория пределов
- •2.1. Последовательность. Предел числовой последовательности
- •2.2. Функциональная зависимость
- •2.2.1. Общие задачи
- •2.2.2. Экономика
- •2.3. Предел функции. Два замечательных предела
- •2.4. Непрерывные функции
- •Глава 3. Теория дифференцирования
- •3.1. Производная. Вывод таблицы
- •3.3. Правила Лопиталя. Формула Тейлора
- •3.4. Исследование функции с помощью производной
- •Глава 4. Теория интегрирования
- •4.2. Интегрирование классов функций
- •4.3. Определенный интеграл
- •Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
- •5.1. Функция двух переменных. Дифференциал
- •5.1.1. Общие задачи
- •5.1.2. Экономический профиль
- •5.2. Экстремум функции двух переменных
- •5.2.1. Общие задачи
- •5.2.2. Экономический профиль
- •Глава 6. Дифференциальные уравнения
- •6.2. Дифференциальные уравнения первого порядка и их решение
- •Глава 7. Ряды
- •7.1. Числовые ряды
- •7.2. Функциональные ряды. Область сходимости
- •7.3. Степенные ряды. Формула Тейлора
- •Решения и указания
- •Ответы к задачам
- •Часть III. Тесты
- •Глава 1. Аналитическая геометрия
- •1.1. Прямая на плоскости
- •1.2. Кривые второго порядка
- •Глава 2. Теория пределов
- •2.1. Последовательности
- •2.2. Предел, непрерывность точки разрыва функции одной переменной
- •Глава 3. Теория дифференцирования
- •3.1. Дифференцирование функций одной переменной
- •3.2. Исследование функции одной переменной
- •Глава 4. Теория интегрирования
- •4.1. Неопределённый интеграл
- •4.2. Определённый интеграл с приложениями
- •Глава 5. Функции двух переменных
- •Глава 6. Дифференциальные уравнения
- •6.1. Элементарные дифференциальные уравнения
- •6.2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Глава 7. Ряды
- •7.1. Числовые ряды
- •7.2. Функциональные и степенные ряды
- •Глава 8. Линейная алгебра
- •8.1. Матрицы, определители, обратная матрица, системы уравнений
- •8.2. Векторная алгебра
Часть I. Теория |
|
Глава 4. Теория интегрирования |
|
4.1. Неопределенный интеграл |
|
Меню 4.1.4. Простейшие методы интегрирования |
Назад Вперёд |
4.1.4. Простейшие методы интегрирования
Метод интегрирования подстановкой (замена переменной) Метод интегрирования по частям Интегрирование простейших рациональных дробей
Часто под знаком интеграла может оказаться функция, для которой не имеется табличного интеграла и непосредственное интегрирование невозможно. Тогда применяются другие методы интегрирования, в частности, метод замены переменной и метод интегрирования по частям.
Метод интегрирования подстановкой (замена переменной)
Теорема 4.2. Пусть функция = ( ) определена и дифференцируема на промежутке и — множество ее значений. Пусть функция = ( ) определена на множестве и имеет на этом промежутке первообразную. Тогда справедлива формула
∫ |
( ) |
= ( ) = ∫ |
( ( )) ′( ) . |
(4.1) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Доказательство] |
Пример 4.2. Вычислите интеграл ∫ |
ln5 |
|
. |
|
|||
|
|
Решение. В таблице основных интегралов этот интеграл отсутствует. Поэтому в данном случае постараемся подобрать подходящую замену переменной, чтобы прийти к табличному интегралу. Положим ln = , т.е. = .
Тогда = ( ) = ( )′ = , и по формуле (4.1) имеем:
∫ ∫ ∫ 6
ln5 = 5 = 6 + .
Часть I. Теория |
|
Глава 4. Теория интегрирования |
|
4.1. Неопределенный интеграл |
|
Меню 4.1.4. Простейшие методы интегрирования |
Назад Вперёд |
Перейдем обратно к переменной : |
|
||||
∫ |
ln5 = |
ln6 |
+ . |
||
|
|
|
|
6 |
|
Отметим, что иногда, как в этом примере, первоначально удобно задавать не как функцию , а, наоборот, задавать как функцию .
Теперь приведем несколько другой подход к решению этого примера. Заметив, что 1 = (ln )′ , получим:
∫ |
ln5 = ∫ |
ln5 (ln )′ = ∫ |
ln5 ln = |
6(ln )6 |
+ . |
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
На последнем шаге мы неявно воспользовались заменой ln = .
Замечание 4.3. Если есть первообразная для функции , то
∫ |
( + ) = ( + ) + , |
, , |
̸= 0. |
|
|
1 |
|
|
|
[Доказательство]
∫
Пример 4.3. Вычислите интеграл cos(5 − 3) .
Решение. Обратим вмнимание на интеграл 6 таблицы основных интегралов:
∫
cos = sin + .
Тогда, учитывая замечание 4.3 ( = 5, = 3), получим
∫
1
cos(5 − 3) = 5 sin(5 − 3) + .
Часть I. Теория |
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 4. Теория интегрирования |
|
|
|
|
|
|||
4.1. Неопределенный интеграл |
|
|
|
|
|
|||
Меню 4.1.4. Простейшие методы интегрирования |
|
|
Назад |
Вперёд |
||||
|
|
|
|
|
||||
Метод интегрирования по частям |
|
|
|
|
||||
Теорема 4.3. Пусть функции = ( ) и |
= ( ) дифференцируемы на |
|||||||
промежутке и пусть существует |
( ) ′( ) . Tогда |
′( ) ( ) также |
||||||
существует и справедлива |
формула: |
|
|
∫ |
|
|||
|
|
∫ |
|
|
|
|||
∫ |
( ) ′( ) = ( ) ( ) − ∫ |
( ) ′( ) . |
(4.2) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
[Доказательство] |
|
Учитывая, что ′( ) |
= и ′( ) |
= , формулу (4.2) можно |
||||||
записать в виде: |
|
∫ |
= − ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(4.3) |
||||
Пример 4.4. Найдите интеграл ∫ |
. |
|
|
|
|
Решение. Основная трудность применения интегрирования по частям состоит в правильном выборе функций и , т.е. в таком выборе, чтобы интеграл справа в формуле (4.2) или (4.3) оказался проще, чем интеграл слева. Так в данном случае удобно положить = , а = . Найдем функцию (точнее, одну из функций ):
|
∫ |
= ∫ |
, |
= . |
Применяя формулу (4.3), находим: |
|
|||
∫ |
= ∫ |
= − ∫ |
= − + . |
При наличии определенных навыков интегрирования по частям можно
не выписывать функции и , а только подразумевать их. Например,
∫ ∫ ∫ ∫
= ( )′ = = − = − + .
Часть I. Теория |
|
Глава 4. Теория интегрирования |
|
4.1. Неопределенный интеграл |
|
Меню 4.1.4. Простейшие методы интегрирования |
Назад Вперёд |
Интегрирование простейших рациональных дробей
Определение. Простейшими рациональными дробями назовем следуюшие функции
1) |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
|
, |
> 1, |
|
N; |
|
||
|
|
|
|||||||
( − ) |
|
|
|||||||
3) |
+ |
|
, |
2 − < |
0; |
||||
2 + 2 + |
|||||||||
4) |
+ |
|
|
, |
> 1, |
N, 2 − < 0. |
|||
|
|||||||||
( 2 + 2 + ) |
С помощью приведенных выше методов можно найти интегралы от указанных рациональных дробей.
1. |
Интегрирование простейших рациональных дробей |
|
∫ |
− = ln | − | + . |
|
|
|
|
Доказательство. С помощью таблицы интегралов (интеграл 2) получим
∫
∫
2.
( − )
− |
|
∫ |
− |
| |
|
− |
| |
|
|
= |
|
( − ) |
= ln |
|
|
|
+ . |
|
|
|
|
1
= − − 1 ( − ) −1 + .
Часть I. Теория |
|
Глава 4. Теория интегрирования |
|
4.1. Неопределенный интеграл |
|
Меню 4.1.4. Простейшие методы интегрирования |
Назад Вперёд |
Доказательство. С помощью таблицы интегралов (интеграл 1) получим
∫ |
( − ) = ∫ |
( − )− ( − ) = − − 1( − )− +1 |
+ = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
+ , |
|
> 1. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
− 1 ( − ) −1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
2 |
+ 2 + |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
| |
|
|
√ − 2 |
|
|
|
|
√ − 2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ |
|
= |
|
ln |
2 |
+ 2 + |
|
+ |
|
− |
arctg |
|
|
+ |
+ . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Доказательство. Выделим в трехчлене |
|
+ + полный квадрат: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 + 2 + = ( + )2 + − 2 = ( + )2 + 2, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
где 2 |
= − 2 |
> 0 |
(считаем > 0). Теперь сделаем замену + = , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= − , = и получим: |
∫ |
|
|
|
2−+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∫ |
2 + 2 + |
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
2 + 2 + ( − ) |
∫ |
|
|
2 |
+ 2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
= 2 ∫ |
|
|
|
|
2 + 2 |
|
+ ( − ) ∫ |
|
1 + 22 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 + 2)′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
ln | 2 |
+ 2| + ( − |
) |
|
arctg |
|
|
+ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
ln 2 |
+ 2 + |
+ |
|
− |
arctg |
+ |
|
|
+ . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
√ − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
√ − 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
4. |
Вычисление интеграла ∫ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
( 2 |
+ 2 + ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть I. Теория |
|
Глава 4. Теория интегрирования |
|
4.1. Неопределенный интеграл |
|
Меню 4.1.4. Простейшие методы интегрирования |
Назад Вперёд |
Доказательство. Выделим полный квадрат в знаменателе и сделаем замену+ = . Будем иметь
∫ |
( 2 + 2 + ) = ∫ |
( + )2 |
+ 2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
( |
|
|
) + |
|
|
( |
∫ |
|
2 |
) |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
∫ |
|
2 |
+ 2 |
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
Первый |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
интеграл в правой части последнего равенства легко вычисля- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ется: |
2 + 2 |
|
= 2 |
∫ |
( 2 |
+ 2)− ( 2 |
+ 2) |
|
= 2(1 − ) 2 |
+ 2 −1 |
+ . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
(Для |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
нахождения второго интеграла вначале обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
В силу обозначения |
|
|
|
|
|
|
( 2 |
+ 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
∫ |
( 2 + 2) |
|
|
|
2 |
∫ |
( 2 + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
( |
2 + |
2) − 2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
( ∫ |
( 2 + 2) −1 |
− ∫ |
|
( 2 + 2) ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
( −1 |
− ∫ |
|
|
( 2 |
+ 2) ). |
(4.4) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
К последнему |
|
интегралу |
применим |
метод |
интегрирования |
по |
|
ча- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
стям (4.3). При этом = |
, = |
|
|
|
. Тогда = , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
( 2+ 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= 2 |
|
∫ |
( 2 |
+ 2)− ( 2 |
+ 2) = 2(1 − )( 2 |
+ 2) −1 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть I. Теория |
|
Глава 4. Теория интегрирования |
|
4.1. Неопределенный интеграл |
|
Меню 4.1.4. Простейшие методы интегрирования |
Назад Вперёд |
Значит,
∫ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
( 2 + 2) |
2(1 − )( 2 + 2) −1 |
2(1 − ) |
|
( 2 + 2) −1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
− |
|
|
· −1. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(1 − )( 2 + 2) −1 |
2(1 − ) |
||||||||||||||||||
Подставляя последнее соотношение в равенство (4.4), получим |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
( −1 − |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
· −1) |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
+ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
или |
2 |
2(1 − )( 2 + 2) −1 |
2(1 − ) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
2 − 3 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 (2 − 2 |
−1 |
2( − 1)( 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
+ 2) −1 ) |
(4.5) |
||||||||||||||||||||||||
Полученная формула позволяет найти интеграл |
|
|
для любого натурального |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
числа > 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 4.5. Найти интеграл ∫ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 + 2 + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Можно воспользоваться результатом пункта 3, положив = 0,= 1, = 1, = 5. Однако проще непосредственно интегрировать, исполь-
зуя аналогичные приемы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Выделив полный квадрат, получим |
( − 1)2 |
+ 4. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
∫ |
|
2 + 2 + 5 = ∫ |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
Сделаем замену + 1 = , = − 1, = . Имеем |
|
|
|
|||||||||||||||||
2 + 2 + 5 = ∫ |
2 + 4 |
= 2 ∫ |
|
1 + ( /2)2 = |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
( /2) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
+ 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
arctg |
|
+ |
= |
|
arctg |
|
|
+ . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
Часть I. Теория |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Глава 4. Теория интегрирования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
4.1. Неопределенный интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Меню |
4.1.4. Простейшие методы интегрирования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Назад |
Вперёд |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 4.6. Найти интеграл ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
3 − 5 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 − 6 + 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Имеем: |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
6 + 10 |
|
|
|
( 3) + 1 |
|
|
|
|
|
|
− 3 = , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
− |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
= |
|
|
= + 3, |
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ 1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
2 |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 + 1 |
|
|
∫ |
|
2 + 1 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3( + 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
= |
|
3 |
ln( 2 |
|
|
− |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3 |
|
|
|
|
|
|
+ 4 |
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
+ 1) + 4 arctg + = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
3 |
ln( 2 |
− 6 + 10) + 4 arctg( − 3) + . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 4.7. Найти интеграл ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
( 2 + 1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Решение. Воспользуемся |
реккурентным |
|
соотношением |
(4.5). При |
этом |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 1. Получим |
|
|
|
1 = ∫ |
|
2 + 1 = arctg + , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
2 ·· 2 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
( |
2 + 1)2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2(2 − 1)( 2 |
+ 1)2−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
2 2 |
− |
3 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
arctg |
+ |
|
|
|
|
+ , |
|||||||
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ·· 3 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2( 2 |
+ 1) |
||||||||||||||||
|
3 |
|
|
( |
2 + 1)3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2(3 − 1)( 2 |
+ 1)3−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
2 3 |
− |
3 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 4 |
( |
2 arctg + |
2( 2 |
+ 1)) + 4( 2 + 1)2 + . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|