Часть I. Теория

Глава 1. Аналитическая геометрия 1.2. Кривые второго порядка

Меню 1.2.4. Парабола Назад Вперёд

1.2.4. Парабола

Определение. Парабола (смотрите рисунок 1.14) — это геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению

2 = 2 ,

> 0,

(1.22)

называемому каноническим уравнением параболы.

		y	d
			b	M(x, y)
			r
			F
	p	O	b	x
−			p
	2		2
L			y2 = 2px
			Рисунок 1.14

y

	O
		x
	y2 = −2px
y	y	O
		x
O	x
x2 = 2py	x2 = −2py

Рисунок 1.15

Из определения следует, что парабола:

1)симметрична относительно оси ;

2)лежит в правой полуплоскости, т. е. > 0;

3)проходит через начало координат.

Часть I. Теория

Глава 1. Аналитическая геометрия 1.2. Кривые второго порядка

Меню 1.2.4. Парабола Назад Вперёд

Уравнение 2 = −2 задаёт параболу, симметричную (1.22) относительно оси ординат. Уравнения 2 = 2 и 2 = −2 определяют «повёрнутые» параболы, чья ось симметрии совпадает с осью ординат (смотрите рисунок 1.15).

Определение. Ось абсцисс, которая является осью симметрии параболы, называется осью параболы.

Определение. Начало координат (0, 0) называется вершиной параболы.

Определение. Точка ( 2 , 0) (рисунок 1.14) называется фокусом параболы.

Определение. Прямая , задаваемая уравнением = −2 (рисунок 1.14), называется директрисой параболы.

Определение. Расстояние от фокуса до директрисы, равное , называется

параметром параболы.

Определение. Для любой точки ( , ) параболы отрезок = (рисунок 1.14) именуется фокальным радиусом параболы.

Теорема 1.5. Точка плоскости принадлежит параболе тогда и только то-

гда, когда эта точка равноудалена от фокуса и директрисы .

[Доказательство]

Так как для точек ( , ) параболы (1.22)				> 0, то из теоремы 1.5
следует, что фокальный радиус таких точек
= = +		= +		.
	2		2

Пример 1.13. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси , с вершиной в начале координат, если длина некоторой хорды этой параболы, перпендикулярной оси , равна 16, а расстояние этой хорды от вершины равно 4.

Часть I. Теория
Глава 1. Аналитическая геометрия
1.2. Кривые второго порядка
Меню 1.2.4. Парабола						Назад	Вперёд
Решение. Из условия следует, что точка (4, 8) лежит на параболе (смот-
рите рисунок 1.16). Подставим координаты в каноническое уравнение па-
раболы (1.22):			64
		82 = 2 · 4,
			2 = 4 = 16.
Зная параметр, выписываем искомое уравнение: 2				= 16 .
y			y
8	b M				M
			8
					b
				√	2
O	4	x	x2 = 2py	8
−8		y2 = 2px		O	8	x
	Рисунок 1.16		Рисунок 1.17

Пример 1.14. Составить уравнение симметричной относительно оси параболы с вершиной в начале координат, если известно, что эта парабола отсекает на биссектрисе первого и третьего координатных углов хорду длиной 8√2.

Решение. Из условия следует, что на параболе лежит точка (8, 8) (смотрите рисунок 1.17). Подставляем координаты точки в каноническое уравнение 2 = 2 данной параболы:

82 = 2 · 8,

2 = 8.

Итак искомое уравнение имеет вид 2 = 8 .

Часть I. Теория
Глава 1. Аналитическая геометрия
1.2. Кривые второго порядка
Меню 1.2.5. Кривые второго порядка со смещенным центром	Назад Вперёд

1.2.5. Кривые второго порядка со смещенным центром

Центр эллипса и гиперболы, а также вершина параболы могут быть помещены в любую точку ( 0, 0) плоскости. При этом канонические уравнения соответствующих кривых преобразуются к следующему виду:

	( − 0)2	+	( − 0)2	= 1,	( − 0)2	−	( − 0)2	= 1,
	2		2		2		2

( − 0)2 = 2 ( − 0) .

Например, эллипс с центром в точке (3, 2) и полуосями = 2 и = 1 (смотрите рисунок 1.18) имеет уравнение

	( − 3)2	+ (	−	2)2	= 1.
	4
y
			1	2
2
		C
O	1	3			x
	Рисунок 1.18

Пример 1.15. Установить вид линии второго порядка, заданной уравнением

9 2 − 4 2 + 18 + 8 − 31 = 0.

Часть I. Теория
Глава 1. Аналитическая геометрия
1.2. Кривые второго порядка
Меню 1.2.5. Кривые второго порядка со смещенным центром	Назад Вперёд

Решение. Выделим в данном уравнении полные квадраты по каждой из переменных:

9( 2 + 2 + 1) − 9 − 4( 2 − 2 + 1) + 4 − 31 = 0,

	9( + 1)2		4(		1)2 = 36,	( + 1)2		( − 1)2	= 1.
		−		−		4	−	9

Мы получили каноническое уравнение гиперболы с центром в точке (−1, 1) и полуосями = 2 и = 3.

Пример 1.16. Установить вид линии второго порядка, заданной уравнением

2 − 4 − 4 = 0.

Решение. Выделим полный квадрат по переменной :

( 2 − 4 + 4) − 4 − 4 = 0, ( − 2)2 = 4 + 4, ( − 2)2 = 4( + 1).

Получено каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (2, −1) и параметром = 2.