Часть I. Теория
Глава 3. Теория дифференцирования
3.1. Производная. Вывод таблицы
Меню 3.1.9. Применения производной в экономике	Назад Вперёд

3.1.9. Применения производной в экономике

Пусть = ( ) выражает количество произведенной продукции за время на некотором предприятии. Необходимо найти производительность тру-

да в момент времени 0.
	Очевидно, за период времени от 0 до		0	+	количество про-
изведенной продукции изменится от значения			0	=	( 0) до значения
0 +	= ( 0 +	). Средняя производительность труда за период

времени от 0 до 0 +	будет равна
	=	( 0 + ) − ( 0)	=		.

Производительность труда в момент времени 0 можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от

0 до 0 +	при	→ 0, т.е.
		=	lim =	lim		.
			→0	→0

Пусть функция = ( ) характеризует зависимость издержек производства от количества выпускаемой продукции. Предположим, что количе-

ство продукции увеличивается на , т.е. равно +			, соответствующие
издержки производства будут равны ( +		).
Тогда приращению количества продукции соответствует прираще-
ние издержек производства продукции
( +	) − ( ) =	( ).

Среднее приращение издержек производства будет равно ( ) . Это есть приращение издержек производства на единицу приращения количества

Часть I. Теория
Глава 3. Теория дифференцирования
3.1. Производная. Вывод таблицы
Меню 3.1.9. Применения производной в экономике	Назад Вперёд

	продукции. Если перейти к пределу, когда			→ 0, то получим значение
	предельных издержек производства
	= lim	( )		= ′( ).
	→0

Аналогично, если выручка от реализации единиц товара описывается функцией = ( ), то предельная выручка определяется как

	= lim	( )	= ′( ).
	→0

Подобным образом в экономике определяются другие предельные понятия. Например, широко применяется понятие эластичности функции.

	Определение. Эластичностью функции		= ( ) относительно переменной
	называется величина
	( ) =		′( ).	(3.13)
		( )

Эластичность функции характеризует процент прироста зависимой переменной, соответствующий приращению независимой переменной на 1%.

Пример 3.9. Найти эластичность функции = 3 + 2.

Решение. Применяя формулу (3.13), имеем

	( ) =		( 3 + 2)′ =		3 3		.
		3 + 2			3	+ 2
	В частности, если = 2, то
	( ) =		3 · 8	= 2,4.
			8 + 2

Это означает, что если переменная возрастает на 1%, то переменнаяувеличится на 2,4%.

Часть I. Теория

Глава 3. Теория дифференцирования 3.2. Дифференцируемость функции

Меню	Назад Вперёд

3.2.Дифференцируемость функции. Основные теоремы дифференциального исчисления

3.2.1.Понятие дифференцируемости функции в точке

3.2.2.Дифференциал функции и приближенные вычисления с помощью дифференциала

3.2.3.Геометрический смысл дифференциала

3.2.4.Теоремы о среднем

Часть I. Теория
Глава 3. Теория дифференцирования
3.2. Дифференцируемость функции
Меню 3.2.1. Понятие дифференцируемости функции в точке	Назад Вперёд

3.2.1. Понятие дифференцируемости функции в точке

Выше указывалось, что операция нахождения производной называется дифференцированием. Применение этого термина оправдано следующими рассуждениями.

Определение. Функция = ( ) называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде

= + (Δ )Δ ,	(3.14)
где — некоторое число, не зависящее от , (Δ ) — БМФ при	→ 0.

Теорема 3.5. Для того, чтобы функция = ( ) была дифференцируемой

в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную ′( ).

Доказательство. Необходимость. Пусть функция = ( ) дифференцируема в точке . Тогда справедлива формула (3.14). Разделим обе части этого равенства на и получим

= + (Δ ).

По свойству предела функции 1 это означает, что существует

	lim		= ,
	→0

т.е.

′( ) = .

Достаточность. Предположим, что функция = ( ) имеет производную в точке , т.е. существует

	lim		= ′( ).
	→0

Часть I. Теория
Глава 3. Теория дифференцирования
3.2. Дифференцируемость функции
Меню 3.2.1. Понятие дифференцируемости функции в точке						Назад Вперёд
Тогда по тому же свойству 1 имеем
			= ′( ) + (Δ ),
где (Δ ) — БМФ при	→ 0. Отсюда находим, что
	= ′( )Δ + (Δ )			·	,

т.е. функция = ( ) дифференцируема в точке .

Таким образом, в формуле 3.14 можно положить = ′( ).