Часть I. Теория
Глава 8. Линейная алгебра
8.2. Системы линейных алгебраических уравнений
Меню 8.2.4. Метод Гаусса	Назад Вперёд

8.2.4. Метод Гаусса

Определение. Методом Гаусса решения системы линейных уравнений называется метод последовательного исключения неизвестных с помощью элементарных преобразований строк системы.

Будучи универсальным и вычислительно эффективным, метод Гаусса чаще всего применяется на практике. Метод Гаусса принято представлять в виде двух этапов: прямого и обратного хода.

Прямой ход состоит в последовательном исключении неизвестных. Предположим, что в системе линейных уравнений

	11 1	+ 12 2 + 13 3 +	+ 1 = 1,
			· · ·
			· · · + 2 = 2,
	21 1 + 22 2 + 23 3 +

31 1 + 32 2 + 33 3 + · · · + 3 = 3,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 + 2 2 + 3 3 + · · · + =

коэффициент 11 ̸= 0. Если бы это было не так, мы бы выбрали из коэффициентов 1 при переменной 1 какой-нибудь ненулевой и поменяли местами содержащую его строку с первой. Теперь исключим переменную 1 из всех уравнений системы, кроме первого. Для этого будем умножать первое уравнение поочерёдно на

−	21	,	−	31	,	. . . , −	1
	11			11			11

и прибавлять результат к остальным уравнениям системы.

Часть I. Теория
Глава 8. Линейная алгебра
8.2. Системы линейных алгебраических уравнений
Меню 8.2.4. Метод Гаусса	Назад Вперёд

В результате получим эквивалентную систему

11 1 +

12 2	+ 13 3 + · · · + 1 = 1,
22(2) 2	+ 23(2) 3	+ · · · + 2(2) = 2(2),
32(2) 2	+ 33(2) 3	+ · · · + 3(2) = 3(2),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(2)	2	(2)	3	(2)	(2)
2		+ 3		+ · · · +	= .

На этом этапе первое уравнение уже сыграло свою роль и в дальнейшем просто переписывается. Теперь посредством второго уравнения из всех уравнений, начиная с третьего, по тому же принципу исключается переменная

2.

Далее последовательно исключаем остальные неизвестные. Встречая уравнения 0 = 0, отбрасываем их как заведомо верные. В связи с этим количество уравнений системы может уменьшиться. Если получилось хотя бы одно заведомо неверное уравнение вида 0 = , где ̸= 0, то система несовместна и решение заканчивается.

В результате выполнения прямого хода приводим систему к ступенчатому виду, то есть к такой эквивалентной системе, основная матрица которой имеет ступенчатый вид:

11 1 + 12 2 + 13 3 + · · · + 1 + · · · + 1 = 1,
		· · ·				· · ·
	22(2) 2 + 23(2) 3 +		+ 2(2) +				+ 2(2) = 2(2),
		· · ·				· · ·
	(3)			(3)			(3)		(3)		(8.15)
	33 3 +		+ 3 +				+ 3 = 3 ,
						· · ·
							. . . . . . . . . . . . .
	. . . . . . . . .(. .). . . . . . . . . . . .( )								( )
					+		+	=		.

Часть I. Теория
Глава 8. Линейная алгебра
8.2. Системы линейных алгебраических уравнений
Меню 8.2.4. Метод Гаусса	Назад Вперёд

Завершающий этап метода Гаусса, когда решается ступенчатая система (8.15), называется обратным ходом и происходит с низу в верх. Из последнего уравнения неизвестная выражается через +1, . . . , . Затем найденное значение подставляется в предпоследнее уравнение системы, что позволяет выразить −1 через всё те же +1, . . . , . Продолжая этот процесс, мы выразим неизвестные 1, . . . , , называемые базисными через неизвестные +1, . . . , , называемые свободными. Если в системе есть свободные неизвестные, то им можно придавать любые действительные значения и потому система имеет бесконечно много решений.

Ступенчатая система (8.15), в которой число уравнений равно числу неизвестных , называется треугольной, поскольку её основная матрица имеет треугольный вид. Треугольная система имеет единственное решение, так как не содержит свободных неизвестных.

Замечание 8.12. В результате проведённых выкладок мы убедились, что совместная система уравнений имеет либо единственное решение, либо бесконечно много решений.

Замечание 8.13. При записи систем линейных уравнений, решаемых методом Гаусса, для удобства восприятия переменные с одинаковыми номерами, как правило, выравнивают, располагая их на одной вертикальной линии.

Пример 8.27. Решить систему линейных уравнений из примера 8.25 методом Гаусса.

Решение. Выполняем прямой ход метода Гаусса:

	− + = 6,			−	+			= 6,
					3	−		=	−	10,
2 + + = 2,
					2 +			=		5,
									−
+ + 2 = 1,

− + = 6,

5 = −15,

2 + = −5.

Обратите внимание, что, приводя систему к ступенчатому виду, можно выбирать разрешающие уравнения и исключать неизвестные в любом порядке.

Часть I. Теория
Глава 8. Линейная алгебра
8.2. Системы линейных алгебраических уравнений
Меню 8.2.4. Метод Гаусса	Назад Вперёд

Полученная ступенчатая система имеет треугольный вид, что гарантирует единственное решение.

Выполняем обратный ход:

=	−15	=	−	3, = 5	−	2 = 5	2	·	(	−	3) = 1,
	5					− −

= 6 + − = 6 + (−3) − 1 = 2.

Итак, = 2, = −3, = 1.

Замечание 8.14. Для сокращения записи и увеличения наглядности преобразования прямого хода метода Гаусса часто выполняют с расширенной матрицей системы.

		3 1 − 9 2 + 10 3 = −21,
		3 1	−			−
Пример 8.28. Решить систему			+ 6 2		−	8 3 = 12,
	−
		2 1		5 2 + 6 3 = 11,
			− 11 2 + 14 3 = −23.
	5 1

Решение. Будем оперировать с расширенной матрицей системы:

	3	−6		8		−12
	3		9	10			21
	−2	−5		−6		−11 .
	5	−	11	14		−
							23

Ни в одном столбце этой матрицы нет элемента, на который делились бы нацело остальные элементы столбца. Именно такие элементы мы делали разрешающими. Чтобы справиться с этой проблемой, домножим третью

Часть I. Теория
Глава 8. Линейная алгебра
8.2. Системы линейных алгебраических уравнений
Меню 8.2.4. Метод Гаусса	Назад Вперёд

и четвёртую строки на 3. Тогда все элементы первого столбца окажутся кратными его первому элементу, который мы и выберем разрешающим.

					3				9			10					21		3			9			10	21
					3		−6 −8								−12			,	0		−3				2	− 9		,
				−6 −15 18										−33 0							−3 −2					−9
					15				33			42										12			8
																	69		0							36
							−								−										−
	3	9			10			21					3				9	10			21
0		−3				2	−		9 0							−3 2				−	9			,	3	9 10				−	21
	0	−3			−	2	−9				,		0			−0 0				−0					(0	−3 2						9).
																										−				−
		3				2											0 0
0									9 0												0
					−
Отсюда
		2
		2 =			3 + 3,
			3						3 − 7 = 3							(3 3 + 3) − 3 3									− 7 = −3 3 + 2.
		1 = 3 2 − 3
							10										2				10					4

В данном случае неизвестные 1 и 2 — базисные, неизвестная 3 — свободная. Положив 3 = 3 , где — произвольное действительное число, получим общее решение

1 = −4 + 2,

2 = 2 + 3,

3 = 3 ,

R.

Придавая произвольное значение, можно получить любое решение системы. Например, при = 0 получим частное решение 1 = 2, 2 = 3, 3 = 0.