Часть I. Теория
Глава 3. Теория дифференцирования
3.1. Производная. Вывод таблицы
Меню 3.1.4. Правила дифференцирования	Назад Вперёд

3.1.4. Правила дифференцирования

Теорема 3.2. Если функции = ( ) и = ( ) в точке имеют производные, то сумма, разность, произведение и частное этих функций также имеют производную в этой точке (частное при условии, что ( ) ̸= 0) и справедливы следующие формулы:

( ± )′				= ′ ± ′;						(3.4)
( )′			= ′ + ′ ;							(3.5)
( )			= − 2′ ;
1			′
( )′			=		′		−2	′	.	(3.6)

Доказательство. Вначале покажем, что ( + )′ = ′ + ′. Воспользуемся определением производной:

( + )′ =

lim

( ( +

) + ( +

)) − ( ( ) + ( ))

=

→0

[

−

−

]

= →0

+

lim

( +

)

( )

( + )

( )

=

=

lim

( +

) − ( )

+

lim

( +

) − ( )

= ′ + ′.

→0

→0

Аналогично,

(

−

)′ =

lim

( ( +

) − ( +

)) − ( ( ) − ( ))

=

0

→

[

] =

−

( )

−

−

( )

= →0

lim

( +

)

( + )

( +

) − ( )

−

( +

) − ( )

= ′

−

′.

=

lim

lim

0

0

→

→

Часть I. Теория
Глава 3. Теория дифференцирования
3.1. Производная. Вывод таблицы
Меню 3.1.4. Правила дифференцирования	Назад Вперёд

Для вывода формулы нахождения производной произведения поступим следующим образом:

( )′ =

lim

( +

) ( +

) − ( ) ( )

=

→0

=

lim

( +Δ ) ( +Δ )− ( ) ( +Δ )+ ( ) ( +Δ )− ( ) ( ) =

→0

=

( + )] +

→0 [ ( )

]

→0 [

lim

( +Δ )− ( )

lim

( +Δ )−

( ) =

= ′ + ′ .

Теперь найдем производную функции

1

:

( )

· ( +

) · ( )

′

→0

1

1

→0

1

=

lim

( +Δ )

−

( )

= lim

( ) − ( +

)

=

=

−

lim

( +

) − ( )

·

lim

1

=

0 (

+

)

·

( )

→

→

0

1

′

= − ′( ) ·

= −

.

2( )

2

Осталось получить формулу для производной частного:

( )′

=

( · )

= ′ ·

+ · (− 2′ ) =

′

− 2′ =

1

′

1

=

′ − ′

.

2

Часть I. Теория
Глава 3. Теория дифференцирования
3.1. Производная. Вывод таблицы
3.1.5. Таблица производных основных элементарных функций. Произ-
Меню водная сложной и обратной функции	Назад Вперёд

3.1.5.Таблица производных основных элементарных функций. Производная сложной и обратной функции

1.( )′ = 0, − const.

Доказательство. Пусть ( ) = . Тогда

′( ) =

lim

( +

) − ( )

=

lim

−

= 0.

→0

→0

2. (sin )′ = cos .

Доказательство. Имеем, что

−

(

)

(sin )′ =

→0

→0

sin (

+ )

sin

2 sin

cos

+

lim

=

lim

2

2

=

2

= 1 · cos = cos .

=

→0

→0

( + 2

)

sin

lim

2

lim cos

Первый предел вычислили исходя из первого замечательного предела, второй — исходя из непрерывности функции cos .

3. (cos )′ = − sin .

Доказательство. Поступим так же как и при выводе формулы 2:

′

→0

−

→0

(

)

=

(cos )

= lim

cos (

+

)

cos

=

lim

−2 sin

2 sin

+

2

2

= −1 · sin = − sin .

= − →0

→0

( +

2

)

sin

lim

2

lim

sin

	Часть I. Теория
	Глава 3. Теория дифференцирования
	3.1. Производная. Вывод таблицы
	3.1.5. Таблица производных основных элементарных функций. Произ-
Меню	водная сложной и обратной функции			Назад Вперёд
4.	(tg )′ =	1	.
		cos2

Доказательство. На основании формул 2, 3 и правила дифференцирования частного (3.6) имеем:

(cos )

′

cos2

(tg )′ =

sin

=

(sin )′ cos

−

(cos )′ sin

=

=

cos2

+ sin2

=

1

.

2

cos

2

cos

5. (ctg )′ = −sin12 .

Доказательство. Поступим аналогичным образом, как и при выводе формулы для производной tg :

( sin

2

)

2

sin

(ctg )′ =

cos

′

=

(cos

)′ sin −

(sin )′ cos

=

2

=

− sin

− cos

=

1

.

−cos2

cos2

6. ( )′ = ln .

Доказательство. Пользуясь определением производной (3.1), следствием из второго замечательного предела и непрерывностью функции , получим

(

)′ =

→0

−

=

→0

(

)

lim

+Δ

lim

− 1

=

·

(

)

→0

→0

=

=

lim

lim

− 1

ln .

7. ( )′ = .

Часть I. Теория
Глава 3. Теория дифференцирования
3.1. Производная. Вывод таблицы
3.1.5. Таблица производных основных элементарных функций. Произ-
Меню водная сложной и обратной функции	Назад Вперёд

Доказательство. Положив = в формуле 6, получим

( )′ = ln = .

Теорема 3.3. Если функция = ( ) строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки 0, имеет производную в точке 0 и ′( 0) ̸= 0, то обратная функция = −1( ) имеет производную в соответствующей точке 0, 0 = ( 0), причем

( −1( 0))′ = − ′(1 0).

Доказательство. По теореме 2.16 обратная функция = −1( ) существует, является монотонной и непрерывной в некоторой окрестности точки 0. Придадим аргументу некоторое приращение ̸= 0 в этой точке. Соответствующеее приращение в силу строгой монотонности тоже будет отличным от нуля. Следовательно,

=

1

,

/

причем, если

→ 0, то и

→ 0. Перейдем к пределу в этом равенстве.

Будем иметь

1

lim

=

lim

(Δ /

)

→0

или

→0

1

( −1( 0))′ =

.

′( 0)

8.

(log

)′

=

1

, > 0, = 1.

ln

̸

Часть I. Теория
Глава 3. Теория дифференцирования
3.1. Производная. Вывод таблицы
3.1.5. Таблица производных основных элементарных функций. Произ-
Меню водная сложной и обратной функции	Назад Вперёд

Доказательство. Логарифмическую функцию = log можно рассматривать как обратную показательной функции = . Поэтому, применяя теорему 3.3, получим

(log

)′ =

1

=

1

=

1

.

( )′

ln

ln

9.

(ln )′ =

1

.

Доказательство. Полагая = в формуле 8, получим

(ln )′ =

1

=

1

.

ln

(arcsin )′ =

1

10.

√1 − 2 .

Доказательство. Функция =

arcsin

является обратной для функции

= sin . Поэтому, в силу теоремы 3.3

(arcsin )′ =

1

1

1

1

=

=

=

√

.

(sin )′

cos

√

1 − sin2

1 − 2

Корень взят со знаком плюс, так как

= arcsin (− 2

; 2 )

и

cos > 0.

11.

(arccos )′ = −

√

1

.

2

1 −

Доказательство. Функция =

arccos

является обратной для функции

= cos . Поэтому, в силу теоремы 3.3

1

1

1

1

(arccos )′ =

= −

= −

= −

√

.

(cos )′

sin

√

1 − cos2

1 − 2

Часть I. Теория

Глава 3. Теория дифференцирования

3.1. Производная. Вывод таблицы

3.1.5. Таблица производных основных элементарных функций. Произ-

Меню водная сложной и обратной функции

Назад Вперёд

Корень взят со знаком плюс, так как

= arccos (0; )

и

sin > 0.

1

12.

(arctg )′ =

.

1 + 2

Доказательство. Функция

=

arctg

является обратной

для функции

= tg . Поэтому, в силу теоремы 3.3

(arctg )′ =

1

=

1

= cos2 =

1

=

1

.

(tg )′

1

1 + tg

2

1 + 2

cos2

13.

(arcctg )′ = −

1

.

1 + 2

Доказательство. Функция

=

arcctg

является обратной для функции

= ctg . Поэтому, в силу теоремы 3.3

(arcctg )′

=

1

=

1

= − sin2 =

(ctg )

′

1

−sin2

1

1

= −

= −

.

1 + ctg2

1 + 2

Теорема 3.4. Если функция = ( ) имеет в точке 0 производную, а функция = ( ) имеет в соответствующей точке 0, 0 = ( 0), производную, то сложная функция = ( ( )) имеет производную в точке 0 и справедлива следующая формула:

	′( 0) = ′( 0) · ′( 0).					(3.7)
Доказательство. По определению производной (3.1)
′( 0) =	lim	( 0 +	) − ( 0)	=	lim	( 0)	.
	→0				→0

Часть I. Теория
Глава 3. Теория дифференцирования
3.1. Производная. Вывод таблицы
3.1.5. Таблица производных основных элементарных функций. Произ-
Меню водная сложной и обратной функции	Назад Вперёд

На основании свойства предела функции 1 можем записать, что

( 0) = ′( 0) + (Δ ),

где (Δ ) есть БМФ при → 0. Следовательно,

( 0) = ′( 0)Δ + (Δ )Δ .

Разделив обе части этого равенства на , получим

( 0)	= ′( 0)		+ (Δ )		.

Теперь перейдем к пределу, когда → 0. Заметив, что и → 0, будем иметь:

→0

= ′( 0)

→0

+

→0

( (Δ ) ).

lim

( 0)

lim

lim

Остается учесть, что

( ( 0)))

= ′( 0),

→0

= (

′

→0

lim

( 0)

lim

)

,

·

→0

(

=

→0

→0

′

0

lim

(Δ )

lim

(Δ )

lim

= 0

(

) = 0

и получим формулу (3.7). Теорема 3.4 доказана.

14. ( )′ = −1.

Доказательство. Преобразуем исходную функцию

= ln = ln .

Часть I. Теория
Глава 3. Теория дифференцирования
3.1. Производная. Вывод таблицы
3.1.5. Таблица производных основных элементарных функций. Произ-
Меню водная сложной и обратной функции	Назад Вперёд

Тогда, применив теорему 3.4, правила 7 и 9, получим

( )′ = ( ln )′ = ln ( ln )′ = ln · · 1 =

= · · 1 = −1.

Таким образом, найдены производные всех простейших элементарных функций, и можно составить следующую таблицу (в правом столбце считаемнекоторой функцией, зависящей от , т.е. = ( )).

Формулы производных, приведенные выше в таблице, правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и правило дифференцирования сложной функции являются основными формулами дифференцирования функции. С их помощью можно найти производную любой элементарной функции.

Пример 3.4. Найти производную функции = cos + arctg + 2.

Решение. Вначале применим правило дифференцирования суммы (3.4):

′ = (cos )′ + ( arctg )′ + (2)′.

Затем воспользуемся таблицей производных и правилом дифференцирования произведения (3.5):

′ = − sin + ( )′ arctg + (arctg )′ + 0 = − sin + arctg +
		.
	1 + 2
Пример 3.5. Найти производную функции = sin(2 + 1).

Решение. Данная функция является сложной, = sin , = 2 + 1. Обе эти функции имеют производные, и по правилу дифференцирования сложной функции (3.7) находим

′ = (sin )′(2 + 1)′ = cos · 2 = 2 cos(2 + 1).

Часть I. Теория

Глава 3. Теория дифференцирования 3.1. Производная. Вывод таблицы

3.1.5. Таблица производных основных элементарных функций. Произ-

Меню водная сложной и обратной функции

Назад Вперёд

Таблица 3.1

( )′ = 0

(

′

=

−1

(

̸= 0)

( )′ = −1

·

′

(

= 0

)

)

̸

( )′ = 1

( )

= − 2

(

)

′

= − 12

′

1

1

′

(

)

2√

2√

√

′

=

1

√

′

=

′

′

= ln , ( > 0, ̸= 1)

(

′ )

ln ·

′

, ( > 0, ̸= 1)

( )

( ) =

( )′

=

( )′ = · ′

(log )′ =

1

, ( >

0, ̸= 1)

(log )′ =

′

, ( > 0, ̸= 1)

ln

ln

(ln )′ =

1

(ln )′ =

′

(sin )′

= cos

(sin )′

= cos · ′

(cos )′

= − sin

(cos )′

= − sin · ′

(tg )′

=

1

(tg )′

=

′

cos2

cos2

(ctg )′

1

(ctg )′

′

= −

= −

sin2

sin2

(arcsin )′ =

√

1

(arcsin )′ =

√

′

2

2

1 −

1 −

(arccos )′

= −

√

1

(arccos )′

= −

√

′

2

2

(arctg )′ =

1

1 −

(arctg )′ =

′

1 −

1 + 2

1 + 2

(arcctg

)′

= −

1

(arcctg

)′

= −

′

1 + 2

1 + 2