Часть II. Задачи

Глава 2. Теория пределов

Меню	Назад Вперёд

Глава 2

Теория пределов

2.1.Последовательность. Предел числовой последовательности

2.2.Функциональная зависимость

2.3.Предел функции. Два замечательных предела

2.4.Непрерывные функции

Часть II. Задачи

Глава 2. Теория пределов 2.1. Последовательность. Предел числовой последовательности

Меню	Назад Вперёд

2.1.Последовательность. Предел числовой последовательности

162.Написать первые четыре члена последовательности { }, если:

	1)	= 1;
	2)	=	(−1)	;

3)= 2 +1;

4)= (−1) + 1;

5)= 2 + 2 + 3;

6)	=			+ 1						;
				2
				4
7)	=				;
				2
8)	= ! (произносится эн-факториал);
9)		= sin									;
11)		=	[,					2						;
									]
10)		=		√						(целая часть корня квадратного из );
	1		1							=		−1	+ 2
12)	1	= −1, = − · −1;
13)	1	=	2, = | −1 − 2|.

[Ответ] [Решение] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ]

[Ответ] [Решение] [Ответ] [Ответ] [Ответ]

[Решение] [Ответ] [Ответ] [Ответ]

Часть II. Задачи

Глава 2. Теория пределов 2.1. Последовательность. Предел числовой последовательности

Меню	Назад Вперёд

163.Зная несколько первых членов последовательности { }, написать формулу её общего члена:

	1)	1,	1		,		1	,		1		, . . . ;						[Ответ]
			3			5			7
	2)	1,	1		,		1	,		1			,		1		, . . . ;	[Ответ]
			4			9			16					25
	3)	2, 1			1	, 1			1		, 1			1		, . . . ;		[Ответ]
					2
									3					4
	4)	−1, 2, −3, 4, −5, . . . ;																[Ответ]
	5)	2, 5, 10, 17, 26, . . .																[Ответ]

164.Исследовать последовательности на ограниченность, ограниченность сверху и ограниченность снизу:

	= (−1) ;
	= 2 +	(−1)	;

=sin ;

=ln ;

=;

=3 + 2 ;

=−2 ;

=+ 1;

=(−1) · .

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ]

[Решение] [Ответ]

[Ответ]

Часть II. Задачи

Глава 2. Теория пределов 2.1. Последовательность. Предел числовой последовательности

Меню	Назад Вперёд

165.Исследовать данные последовательности на монотонность и строгую монотонность:

1)

=

2 + 1;

2)

=

(−1)

;

3)

=

1

;

2

4)

=

−√

;

2,

3,

3, . . . ;

6)

1,

[1,

]

2,

5)

=

√

;

−

−

−

−

−

−

7)

=

−

1

;

8)

=

+ 1

;

9)

= cos

;

2

10)

2, 2, 2, 2, . . .

[Решение] [Ответ] [Решение] [Ответ]

[Решение] [Ответ]

[Ответ] [Решение] [Ответ] [Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

166.Найти первые семь членов последовательности Фибоначчи, определяемой рекуррентной формулой

1 = 1, 2 = 1,

= −2 + −1 ( > 3).

[Ответ]

167.Привести пример двух ограниченных последовательностей, частное которых является неограниченной последовательностью.

168.Показать на примере, что произведение двух возрастающих последовательностей может не быть даже монотонной последовательностью.

Часть II. Задачи

Глава 2. Теория пределов 2.1. Последовательность. Предел числовой последовательности

Меню	Назад Вперёд

169.Доказать по определению, что следующие последовательности бесконечно малые:

	1)	=	1	;				[Решение]
	2)	=	2					;
			+ 1
	3)	=	1			;
			2
	4)	=	1			;
			2
	5)		1				;
		= √

1

6) = !.

170.Доказать, что последовательность = {21 } — бесконечно малая, и для данных значений найти такой номер , что для всех > справедливо равенство | | < :

1)= 12;

2)= 0,1;

3)= 0,015.

171. По определению предела доказать, что

1) lim = 1;

→∞ − 1

2) lim 1 = 0;

→∞ 2

[Ответ] [Ответ] [Ответ]

[Решение]

Часть II. Задачи

Глава 2. Теория пределов 2.1. Последовательность. Предел числовой последовательности

Меню

3)

lim

3 +

2

= 3;

+ 1

→∞

4)

lim

4 −

1

=

4

;

5 +

2

→∞

5

5)

lim

2 2 + 1

= 2;

2

→∞

6)

lim

cos

= 0;

→∞

7)

lim

3 +1 − 1

= 3.

→∞

3

172.

Найти пределы последовательностей:

1)

lim

2 −

5

;

→∞

2)

lim

4 − 2

;

3 − 2

→∞

3)

lim

6 +

4

;

7 − 9

→∞

4)

lim

3 2 − + 2

;

→∞

5 2 + 2

5)

lim

(2 − 1)( + 2)

;

→∞

2 + + 1

6)

lim

2 − 2 + 2

;

→∞

2 +

1

+ 2 2

7)

lim

( + 1)2

;

2 +

→∞

8)

lim

+ (−1)

;

→∞

− (−1)

Назад Вперёд

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Решение] [Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

Часть II. Задачи

Глава 2. Теория пределов 2.1. Последовательность. Предел числовой последовательности

Меню

	9)	lim	4 3 − 5 2 + 10				;
		→∞	21 3 + 7 − 8
	10)	lim	2 2 + + 4 3	;
			1 − + 2 3
		→∞
	11)	lim	4 + 5 2 − 1	;
			10 3 − 3 + 2
		→∞
	12)	lim	7 2 − 1						;
			5 3 + 4 2 − 2 + 1
		→∞
	13)	lim	1000 3 + 100		;
			2 4
		→∞
	14)	lim	( + 1)! + ( + 2)!					;
		→∞	( + 3)!
	15)	lim	5( + 1)!	;
			4 ! + ( − 1)!
		→∞
	16)	lim	(2 + 3) !					;
			( + 2)! + ( + 1)!
		→∞
	17)	lim	!								;
			( − 1)! + (4 + 1) !
		→∞
	18)	lim	(7 + 1) !			;
			9( + 1)! + 7 !
		→∞
	19)	lim	( + 1)! + 7 !	;
			( + 2)!
		→∞
	20)	lim	! − ( + 2)!							;
			( + 3) ! + ( + 1)!
		→∞
	21)	lim	( − 3)! + ( − 2)!							;
		→∞	( − 1)! − ( − 2)!

Назад Вперёд

[Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ]

[Решение] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ]

Часть II. Задачи

Глава 2. Теория пределов 2.1. Последовательность. Предел числовой последовательности

Меню

22) lim	( − 1)! + 3 !	;
→∞ ( + 1)( − 1)! − ( − 2)!

23)lim ( + 2)! − ( + 1)!;→∞ ! + 2( + 1)!

24)lim ( + 1)! − ( + 2)!;→∞ ( + 3)! − ( + 1)!

25)

lim

( − 1)! + ( − 3)!

;

(2 2 + 1)( − 3)! + ( − 2)!

→∞

26)

lim

( + 1)! + ! ( + 3)!

;

→∞

( + 2)! + ( + 1)!

27)

lim

( + 3)! + ( + 2)!

;

(2 2

+ 3)( + 1)! − ( + 2)!

→∞

28)

lim

2 ! + ( + 1)!

;

(3 + 1) !

→∞

29)

lim

(3 + 1)( − 1)! − 3( + 1)!

;

→∞

7( + 1)! + 4 !

30)

lim

( + 1)3 − ( − 1)3

;

→∞

(

2 + 1

);

31)

→∞

−

√ + 1

√

−

lim

1

32)

(

);

→∞

√ + 1

−

lim

√

33)

→∞

(√

− );

2

+

lim

34)

→∞

(√

− );

+

lim

3

3

2

35)

→∞

(√

−

2

);

4 +

lim

Назад Вперёд

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ]

[Ответ] [Решение] [Ответ] [Ответ] [Ответ]

[Указание] [Ответ] [Ответ]

Часть II. Задачи

Глава 2. Теория пределов 2.1. Последовательность. Предел числовой последовательности

Меню Назад Вперёд

36)

→∞

(√

− √

);

[Ответ]

+

−

lim

3

3

2

3

2

37)

→∞

(√

√

);

[Ответ]

2

+ −

2

−

lim

√

38)

3

;

[Решение] [Ответ]

lim

√

→∞

√

+ 1

39)

lim

2 + 3

;

[Ответ]

+ 2

→∞

40)

lim→∞

√3

2 + 1

;

[Ответ]

2

+ + 4

√

√

41)

lim

2 + −

9 2 + 2

;

[Ответ]

→∞

√3 3 + 1 − √3 8 3 + 2

√

+ √

2 + 1

42)

;

[Ответ]

lim→∞

√4

√

3

+ −

2 − 3

43)

→∞

( + 2 − 2 + 1);

[Ответ]

lim

3

5

44)

(

5 + 7 −

2 + 5 3 );

[Ответ]

→∞

lim

2

− 1

1 + 2 3

45)

(

2 + 4 −

2 − 3);

[Ответ]

→∞

lim

5 + 3

46)

(

4 + 1

− 2 + 3);

[Указание] [Ответ]

→∞

lim

2 2

+ 5

2 + 4

47)

(

2 2

− 1 − 2 + 1);

[Ответ]

→∞

lim

3

2

48)

( + 2 −

+ 3 );

[Ответ]

→∞

lim

2

+ 1

2 −

1

Часть II. Задачи

Глава 2. Теория пределов 2.1. Последовательность. Предел числовой последовательности

Меню

49)	lim			5 − 1						;
				5 + 1
	→∞
50)	lim			2 +1 + 3 +1										;
					2 + 3
51)	→∞		(																				−				2 );
	→∞											+ 2· · ·						+
	lim				1 + 2 + 3 +
52)				1 + 2 + 3 + · · · +																	;
	lim
53)	→∞		( 2							2 + 1					· · ·							2						);
	→∞									2
	lim				1		+				3		+				+			2			−			1
54)	lim			1 + 2 + 3 + · · · +																		;
				1 + 4 + 9 + · · · + 2
	→∞
55)	lim			1 + 4 + 9 + · · · + 2																		;
56)	→∞		( 3									3			· · ·									3					);
	→∞									3
	lim				12		+				32		+				+			(2 −							1)2
			(
57)	→∞				1 · 2					+ 2 · 3 + · · · + ( + 1));
	lim				1								1														1
			1 +				1			+		1	+ · · · +							1
58)	lim						2					4									2			;
							1					1								1
		→∞	1 +							+			+ · · · +
59)							3					9									3					).
	→∞		(		5 −					25				· · ·							5
	lim				1					1		+				+			(−1)

Назад Вперёд

[Ответ] [Ответ] [Решение] [Ответ] [Ответ] [Ответ]

[Указание] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ]

[Указание] [Ответ]

[Ответ]

173.Показать на примерах, что частное двух бесконечно малых последовательностей может быть бесконечно малым и бесконечно большим.

Часть II. Задачи

Глава 2. Теория пределов 2.1. Последовательность. Предел числовой последовательности

Меню	Назад Вперёд

174. Доказать, что следующие последовательности не имеют предела:

1) = (−1) ;

2) = sin 2 .

175.Привести пример расходящейся последовательности , для которой последовательность | | сходится.

176.На примере показать, что не всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой.

177.На примере показать, что не всякая ограниченная последовательность является сходящейся.

178.Следует ли из сходимости суммы последовательностей и сходи-

мость каждой из последовательностей

и ?

[Ответ]

179. Доказать, что последовательность { }, где

=

∑

1

,

=1

+

сходится.

[Решение]

180. Доказать сходимость и найти предел последовательности , где

1 = √

2 = √

3 = √

,

,

+ √

,

+ √

+ √

. . . ,

= √

+

+ . . . + √

,

√корней

если известно, что > 0.

[Решение] [Ответ]

Часть II. Задачи

Глава 2. Теория пределов 2.1. Последовательность. Предел числовой последовательности

Меню Назад Вперёд

181.	Найти предел последовательности , заданной рекуррентно:
	1 (0, 1);	+1	= (2 − ),		N.		[Ответ]
182.	Найти предел последовательности , если
	1 = , 2 = ,	< ;	=	−1 + −2		, > 3.	[Ответ]
			2

183.Доказать, что неограниченная монотонная последовательность является бесконечно большой.