Часть I. Теория
Глава 4. Теория интегрирования
4.2. Интегрирование классов функций
Меню 4.2.2. Интегрирование иррациональных функций	Назад Вперёд

4.2.2. Интегрирование иррациональных функций

Простейшие случаи Более сложные случаи

Простейшие случаи

Через ( , ) будем обозначать рациональную функцию двух переменных, т.е. функцию, получающуюся из двух переменых и и некоторых потостоянных, над которыми производятся операции сложения, вычитания, умножения и деления. Например, функция

2 2 + 3 2 + 2 + + 12 + 2 + 2

есть рациональная функция двух переменных и .

Пусть имеем интеграл вида		+ ) ,		(4.11)
( ,
∫	√
		+

где N, − ̸= 0.

В интегралах такого вида целесообразно сделать следующую замену:

				√					= .		(4.12)
							+
							+
Из этого равенства получим:
=	+	,	=	−			,		=	( − ) −1	.
	+			−						( − )2

	Часть I. Теория
	Глава 4. Теория интегрирования
	4.2. Интегрирование классов функций
Меню	4.2.2. Интегрирование иррациональных функций									Назад Вперёд
	Подставляя соотвветствующие выражения в (4.11), получим:
	( , + )			=
∫	√
		+
			∫	(	−	)	( − )2		∫	1
		=			−	,	( − ) −1	=			( ) ,

где 1( ) есть некоторая функция переменной . Таким образом, интегралы вида (4.11) заменой переменной (4.12) сводятся к интегралам от рациональных функций, методы вычислений которых нам уже известны. В этом случае

говорят, что интеграл вида (4.11) рационализируется.

Пример 4.10. Найти интеграл ∫

− 1

.

√

+ 1

Решение. Сделаем замену переменной √

= . Имеем

+ 1 = 2,

+ 1

= 2 − 1, = 2 и

−

∫

−

(

−

)

∫

√ + 1

∫

−

3

− 1

=

2

1

1

2

= 2

( 2

2) = 2

3

2

+ =

= 2

(√

− 2√ + 1) + = 3√ + 1( − 5) + .

3

(

+ 1)3

2

По аналогии с интегралом (4.11) рассмотрим более общие случаи ин-

тегрирования иррациональных функций.

Интеграл вида

∫

( , 1 ,

)

2 , . . . ,

1

2

рационализируется заменой

= ,

Часть I. Теория

Глава 4. Теория интегрирования

4.2. Интегрирование классов функций

Меню 4.2.2. Интегрирование иррациональных функций

Назад Вперёд

где

= НОК ( 1, 2, . . . , ).

Пример 4.11. Найти интеграл ∫

√

.

1 + √3

Решение. Так как

1

√

2

=

,

1

1 + √3

1 + 3

то в этом случае = НОК (2, 3) = 6. Поэтому, следует сделать замену

= 6. Тогда √

= 3,

√3

= 2, = 6 5 и

1 + 2 .

∫

1 + √3 = ∫

1 + 2 6 5 = 6 ∫

√

3

8

Далее воспользуемся методами интегрирования рациональных функций

∫

1 + 2 = ∫ ( 6 − 4

+ 2 − 1 + 1 + 2 )

=

8

1

7

5

3

=

−

+

− + arctg + .

7

5

3

Возвращаясь к переменной ( = √6

), окончательно получим

∫

1 +

√3

=

7

√ 7 −

5

√ 5 + 2√ − 6√6 + 6 arctg √6 + .

√

6

6

6

6

Интеграл вида

( + )

, . . . , ( + )

)

∫

( , ( + )

,

+

1

+

2

+

1

2

Часть I. Теория
Глава 4. Теория интегрирования
4.2. Интегрирование классов функций
Меню 4.2.2. Интегрирование иррациональных функций										Назад Вперёд
рационализируется заменой
	+			= ,
	+
где
= НОК ( 1, 2, . . . , ).
Пример 4.12. Найти интеграл ∫		√				−	√3
			+ 1					+ 1		.
		√			+		√3
			+ 1					+ 1

Решение. Поступая аналогичным образом, как и в примере 4.11, заметим, что в данном случае следует произвести замену + 1 = 6. Получим

∫

√ + 1 +

√3

+ 1

∫

3

+ 2

∫

+ 1

√

+ 1

−

√3

+ 1

=

3

− 2

6 5 = 6

6 − 5

=

= 6 ∫ ( 5 − 2 4 + 2 3 − 2 2 + 2 − 2 + + 1) =

2

= 6 (

6

− 2

5

+ 2

4

− 2

3

+ 2

2

− 2 + 2 ln | + 1|) + =

6

5

4

3

2

√6

12

√

√6

√

√

√3

6

5

3

2

= −

5

( + 1)

+ 3

( + 1)

− 4 + 1 + 6

+ 1−

− 12

+ 1 + 12 ln(

+ 1 + 1) + .

Более сложные случаи

1) Тригонометрическая подстановка.

Интегралы вида

∫

( , √

)

2 − 2

находятся с помощью замены

= sin

или

= cos .

Часть I. Теория

Глава 4. Теория интегрирования

4.2. Интегрирование классов функций

Меню 4.2.2. Интегрирование иррациональных функций

Назад Вперёд

При вычислении интегралов вида

∫

( , √

)

2 + 2

можно воспользоваться подстановкой

= tg .

Для нахождения интеграла вида

∫

( , √

)

2 − 2

применяется замена

=

.

sin

Пример 4.13. Найти интеграл ∫

√

4 − 2

.

2

Решение. Сделаем

замену

= 2 sin .

Тогда

= 2 cos ,

√

√ √

2

4 − 2

=

4 − 4 sin2 = 2 cos . Получим

∫

∫

4 sin2

∫

2

4 −

=

2 cos

2 cos =

ctg2 =

= ∫

(sin2

− 1)

= ∫

sin2 − ∫

= − ctg − + =

1

1

= − ctg (arcsin 2 )

− arcsin

2 + .

2) Подстановки Эйлера

Интегралы вида

∫

( , √

)

2 + +

Часть I. Теория
Глава 4. Теория интегрирования
4.2. Интегрирование классов функций
Меню 4.2.2. Интегрирование иррациональных функций									Назад Вперёд
находятся с помощью так называемых подстановок Эйлера.
Если > 0, то полагают
√				= ± √				±
		2 + +
(комбинация знаков произвольна).
Если > 0, то полагают
√			= ±√			±
	2 + +

(комбинация знаков произвольна).

Если же < 0 и < 0 (в этом случае 2 − 4 > 0, т.е. квадратный трехчлен 2 + + имеет два корня), то применяют подстановку

√					= ( − 1),
	2 + +2
где 1 — один из корней трехчлена			+ + .
Пример 4.14. Найти интеграл ∫			√		1	.
		+			2 + + 1

Решение. Так как > 0, то воспользуемся первой подстановкой Эйлера

√

2 + + 1 = − . Тогда

=

2 − 1

,

=

2 2 + 2 + 2

.

2 + 1

(2 + 1)2

Значит,

∫

+ √ 2 + + 1 =

∫ 2 (2 + 1)2

.

1

2 + 2

+ 2

Получили интеграл от рациональной функции. Применяя метод неопределенных коэффициентов, несложно получить

2 2 + 2 + 2 2			−	3	−	3
	=						.
(2 + 1)2				2 + 1		(2 + 1)2

Часть I. Теория
Глава 4. Теория интегрирования
4.2. Интегрирование классов функций
Меню 4.2.2. Интегрирование иррациональных функций							Назад Вперёд
Поэтому,	(2 + 1)2 = 2 ln | | −	2 ln |2 + 1| +
∫					2(2 + 1)		+ .
	2 2 + 2 + 2	3			3
Осталось произвести обратную замену = − √						.
				2	+ + 1

3) Интегрирование дифференциального бинома.

Определение. Выражение ( + ) ( ̸= 0, ̸= 0) называется дифференциальным биномом.

Для того, чтобы рационализировать интеграл

∫

( + )

применяются следующие подстановки: 1) если Z, то

= ,

где — наименьшее общее кратное знаменателей дробей и ;

2) если + 1 Z, то

+ = ,

где — знаменатель дроби ;

2) если + 1 + Z, то

+ = ,

где — знаменатель дроби .

Во всех остальных случаях интегралы от дифференциального бинома не выражаются через элементарные функции, т.е. «не берутся».

Часть I. Теория

Глава 4. Теория интегрирования

4.2. Интегрирование классов функций

Меню 4.2.2. Интегрирование иррациональных функций

Назад Вперёд

3

√4

+ 1

Пример 4.15. Найти интеграл ∫

√

√

.

Решение. Имеем

∫ √

= ∫

− 2

(1 + 4 )

1

.

√

3

√4 + 1

1

1

3

Вэтом случае = −12 , = 14 , = 13 . Поскольку

+ 1 = −12 + 1 = 2,

													1
													4
то сделаем замену			1 +		1		= 3. При этом
					4
	= ( 3 − 1)4,						= 12 2( 3 − 1)3 ,											= √3			1 + √4			.
Поэтому,							∫				1)2 12 2( 3					− 1)3 = 12 ∫						( 6 − 3) =
∫	− 2	1 + 4	3 =						( 3
	(	)	1							−
	1	1
			12 7							4			12			√4			3			√4				3
			=					− 3			+ =				(1 +		)		7	− 3(1 +			)			4	+ .
				7										7