Часть I. Теория
Глава 2. Предел последовательности и функции
2.1. Предел числовой последовательности
Меню 2.1.2. Предел последовательности	Назад Вперёд

2.1.2. Предел последовательности

Изучение предела последовательности — основного понятия этой главы, начнем с наводящего примера. Рассмотрим последовательность

− 1= .

Из рисунка 2.2, где изображены ее первые несколько элементов, видно, что они приближаются к значению = 1. Для первый пяти элементов оценим степень этой близости:

| 1 − 1| = 1,	| 2 − 1| =	1		| 3 − 1| =	1		| 4 − 1| =	1			| 5 − 1| =	1
			,			,				,			.
		2			3			4				5

Итак, видно, что по мере возрастания номера элемент последовательности { } неограниченно приближается к единице. В таком случае говорят, что число 1 является пределом последовательности { }.

x1	x2	x3	x4 x5			a
b	b			b	b	b	x
0	1	2	3	4		1
	2	3	4	5

Рисунок 2.2

Получив наглядное представление о сути предельного перехода, мы готовы перейти к математически строгому определению.

Определение. Число называется пределом последовательности { }, если для всякого числа > 0, сколь малым оно бы ни было, существует номер0 N такой, что для всех > 0 имеет место неравенство | − | < . На языке кванторов это звучит так:

> 0

0 N :

> 0

| − | < .

Часть I. Теория

Глава 2. Предел последовательности и функции 2.1. Предел числовой последовательности

Меню 2.1.2. Предел последовательности Назад Вперёд

Для обозначения предела используется выражение

= lim .

→∞

Например, из геометрических соображений мы уже убедились, что

lim − 1 = 1.

→∞

Этому факту можно дать и строгое математическое доказательство, пользуясь введенным ранее определением предела последовательности (проделайте это самостоятельно).

Геометрический смысл предела последовательности состоит в том, что в любой -окрестности точки находятся все члены последовательности, начиная с некоторого номера 0, зависящего, вообще говоря, от (смотрите рисунок 2.3).

x1	x2		xN0+2				xN0+1 xN0				x3
b			b	b b	b b	b	b		b	b	b
		a − ε		a			a + ε				x

Рисунок 2.3

Пример 2.1. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

lim			=		1	.
				2
→∞ 2 − 1

Решение. Зададим произвольное > 0 и рассмотрим модуль разности между -м членом последовательности и числом 12 :

		−			1			=		−	− 1)			=		−
										2 − (2					1 .
	2		1 −		2					2(2	1)				2(2 1)

Часть I. Теория
Глава 2. Предел последовательности и функции
2.1. Предел числовой последовательности
Меню 2.1.2. Предел последовательности	Назад Вперёд

В соответствии с определением предела последовательности мы должны указать номер 0 такой, что > 0 выполняется неравенство

1 2(2 − 1) < .

Для отыскания номера 0 решим это неравенство относительно :

2(2 − 1) > ,		> 2	(	2 + 1).
1		1		1

Таким образом, в качестве номера 0 можно взять целую часть числа
2	(	2 + 1), т.е.		=		1			1	+ 1 .
1		1			[			(		) ]
				0
						2			2

Часть I. Теория
Глава 2. Предел последовательности и функции
2.1. Предел числовой последовательности
Меню 2.1.3. Бесконечно малые последовательности	Назад Вперёд

2.1.3. Бесконечно малые последовательности

Определение. Последовательность { } называется бесконечно малой (БМП), если для любого положительного числа , сколь бы малым оно бы ни было, существует номер 0 такой, что для любого > 0 выполняется неравенство | | < , т. е.

> 0

0 N :

> 0

| | < .

Из определения предела последовательности следует, что последовательность является бесконечно малой тогда и только тогда, когда сходится, причем предел ее равен нулю:

lim = 0.

→∞

Например, последовательность = 1/ бесконечно малая, или, что то же самое, ее предел равен нулю.

Геометрический смысл БМП можно сформулировать так: для любой-окрестности точки = 0, существует номер 0 N такой, что все члены последовательности, начиная c ( 0 +1)-го, принадлежат этой -окрестности (смотрите рисунок 2.3, считая = 0).

	Свойства бесконечно малых последовательностей
1.	Сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть
БМП.		[Доказательство]
2.	Бесконечно малая последовательность является ограниченной.
		[Доказательство]
3.	Произведение бесконечно малой последовательности и ограниченной
последовательности есть БМП.		[Доказательство]

	Часть I. Теория
	Глава 2. Предел последовательности и функции
	2.1. Предел числовой последовательности
Меню	2.1.3. Бесконечно малые последовательности	Назад Вперёд
4.	Произведение нескольких БМП есть БМП.	[Доказательство]
5.	Если БМП { } имеет постоянное значение , т.е. N верно, что
= , то = 0.		[Доказательство]