Часть I. Теория

Глава 3. Теория дифференцирования 3.1. Производная. Вывод таблицы

Меню	Назад Вперёд

3.1. Производная. Вывод таблицы

3.1.1.Понятие производной

3.1.2.Геометрический смысл производной

3.1.3.Физический смысл производной

3.1.4.Правила дифференцирования

3.1.5.Таблица производных основных элементарных функций. Производная сложной и обратной функции

3.1.6.Логарифмическая производная

3.1.7.Производная неявной функции

3.1.8.Производные высших порядков

3.1.9.Применения производной в экономике

Часть I. Теория
Глава 3. Теория дифференцирования
3.1. Производная. Вывод таблицы
Меню 3.1.1. Понятие производной	Назад Вперёд

3.1.1. Понятие производной

Пусть функция = ( ) определена и непрерывна в окрестности точки

= . Если независимой переменной придать приращение	в этой точке,
то функция получит соответствующее приращение = ( +		) − ( ).
По определению непрерывной функции, если → 0, то и	→ 0.

Если же мы хотим получить представление, как быстро изменяется значение функции при изменении независимой переменной в окрестности точки = , то должны сопоставить или сравнить каким-то образом приращение аргумента и приращение функции . С целью более глубокого изучения функции, исследования скорости изменения ее значений вводится понятие производной — одно из важнейших понятий математики.

Определение. Производной функции = ( ) в точке = называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Для обозначения производной используются символы:

′( ),	′( ),		.

Таким образом, по определению

def	( +	)	−	( )
′( ) = lim					.	(3.1)
→0

Определение. Операцию нахождения производной называют дифференцированием.

Если функция = ( ) имеет производную ′( ) в каждой точке , то производную можно рассматривать как функцию переменной на .

Из определения производной следует и способ ее вычисления.

Часть I. Теория
Глава 3. Теория дифференцирования
3.1. Производная. Вывод таблицы
Меню 3.1.1. Понятие производной	Назад Вперёд

Пример 3.1. Найти производную функции ( ) = 2 + 2 + 2 в точке = ,

R.

Решение. Придадим приращение

аргументу в точке = . Найдем соот-

ветствующее приращение

функции = ( ):

= ( + ) − ( ) = (( + )2 + 2( + ) + 2) − ( 2 + 2 + 2) =

= 2 + (Δ )2 + 2Δ = (2 + 2 + )Δ .

Теперь воспользуемся формулой (3.1):

′( ) = lim

=

lim

(2 + 2 + )Δ

=

→0

→0

=

lim (2 + 2 +

) = 2( + 1).

→0

Таким образом, ′( ) = 2( + 1),

R

.

Пример 3.2. Найти производную функции ( ) = | − 1| в точке = 1.

Решение. Исходя из определения производной, рассмотрим предел

lim

(1 +

) − (1)

= lim

|1 +

− 1| − |1 − 1|

=

lim

|

|

.

→0

→0

→0

Очевидно, в этом случае существуют односторонние пределы

lim

|

|

= 1

и

lim

0

|

|

=

−

1,

→

+0

→−

неравные между собой. Таким образом, производная функции ( ) = | −1| в точке = 1 не существует.

Учитывая, что существуют вышеуказанные односторонние пределы, в этом случае говорят, что у рассматриваемой функции существуют односторонние производные в точке = 1 (правая и левая, соответственно).

Часть I. Теория
Глава 3. Теория дифференцирования
3.1. Производная. Вывод таблицы
Меню 3.1.1. Понятие производной	Назад Вперёд

Выясним связь между существованием производной в точке и непрерывностью функции.

Теорема 3.1. Если функция	= ( ) в точке имеет производную ′( ), то
она непрерывна в этой точке.	[Доказательство]

Обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной в точке, но не иметь в ней производной. Это видно на примере 3.2. Функция= | − 1| в точке = 1 непрерывна, но не имеет в ней производной.