Часть I. Теория |
|
Глава 2. Предел последовательности и функции |
|
2.2. Функциональная зависимость |
|
Меню 2.2.6. Построение графиков функций |
Назад Вперёд |
2.2.6. Построение графиков функций
Зная графики основных элементарных функций, рассмотрим построение графиков функций с помощью линейных преобразований.
Пусть задана функция = ( ) и ее график известен (см. рисунок 2.30).
∙График функции = ( )+ получается из графика функции = ( )
спомощью параллельного переноса последнего вдоль оси на величину, равную (рисунок 2.31).
∙График функции = ( − ) получается из графика функции = ( )
спомощью сдвига последнего вдоль оси на величину, равную (рисунок 2.32).
∙График функции = ( ), где > 0, получается из графика функции= ( ) растяжением в раз вдоль оси (при < 1 — сжатием). Если < 0, то график функции = ( ) получается из графика функции = − ( ) «зеркальным» отображением относительно оси(рисунок 2.33).
∙График функции = ( ), где > 0, получается из графика функции= ( ) растяжением (при 0 < < 1) или сжатием (при > 1) вдоль оси . При < 0 нужно «зеркально» отобразить график функции= (− ) относительно оси .
Остановимся еще на одном часто встречающемся преобразовании графиков функций. Чтобы получить график функции = | ( )|, нужно участки графика функции = ( ), лежащие выше оси , оставить без изменений, а участки графика, лежащие ниже оси , «зеркально» отобразить относительно этой оси (рисунок 2.34).
Пример 2.7. Построить график функции = |1 + ( − 1)3|.
Часть I. Теория |
|
Глава 2. Предел последовательности и функции |
|
2.2. Функциональная зависимость |
|
Меню 2.2.6. Построение графиков функций |
Назад Вперёд |
y |
|
|
y |
|
|
y = f (x)+c |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
y = f (x) |
|
|
|
y = f (x) |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
x |
c |
|
O |
x |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
Рисунок 2.30 |
Рисунок 2.31 |
|||||
y
y = f (x)
1
y = 2 f (x)
O |
1 |
x |
|
y = − |
f (x) |
||
|
|||
2 |
y 
y = f (x)
O |
a |
x |
|
|
y = f (x − a)
Рисунок 2.32
y |
y = |f (x)| |
|
O x y = f (x)
Рисунок 2.33 |
Рисунок 2.34 |
Часть I. Теория |
|
Глава 2. Предел последовательности и функции |
|
2.2. Функциональная зависимость |
|
Меню 2.2.6. Построение графиков функций |
Назад Вперёд |
Решение. В качестве исходного возьмем график функции |
= 3 (рису- |
нок 2.35). С помощью сдвига на величину = 1 вправо вдоль оси получим график функции = ( − 1)3 (рисунок 2.36). Если сделать перенос полученного графика вдоль оси на одну единицу вверх, то получим график функции = 1+( −1)3 (рисунок 2.37). Наконец, «зеркально» отображая ту часть графика, которая расположена ниже оси , получим график функции = |1 + ( − 1)3| (рисунок 2.38). 
y |
|
|
y |
|
1 |
y = x3 |
|
1 |
y = (x − 1)3 |
O |
1 |
x |
O |
x |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 2.35 |
|
|
Рисунок 2.36 |
|
y |
|
|
y |
|
|
|
y = 1 + (x − 1)3 |
|
|
1 |
y = |1 + (x − 1)3| |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
1 |
x |
O |
1 |
x |
|
|
|
|
||
Рисунок 2.37 |
Рисунок 2.38 |
Часть I. Теория |
|
Глава 2. Предел последовательности и функции |
|
2.2. Функциональная зависимость |
|
Меню 2.2.7. Функциональная зависимость в экономике |
Назад Вперёд |
2.2.7. Функциональная зависимость в экономике
Применение математического аппарата в экономических исследованиях способно принести большую пользу. Но прежде, чем применить математические методы, исследователь должен составить математическую модель прикладной задачи. Такой математической моделью может, например, стать описание какого-либо экономического процесса в виде математической функции. Рассмотрим важнейшие функциональные зависимости, используемые в экономике.
Определение. Функция издержек = ( ) выражает зависимость издержек производства от объема выпуска .
Например, если функция издержек некоторого производства задается по формуле = 100√ , то при объеме выпуска 25 единиц издержки составят √
= 100 25 = 500
денежных единиц.
Определение. Функция выручки = ( ) задает зависимость выручки от объема выпуска .
Если продано единиц товара по цене за каждую единицу, то выручка
= .
Определение. Функция прибыли = ( ) — это зависимость прибыли от объема выпуска .
Прибыль равна разности выручки и издержек:
( ) = ( ) − ( ).
Часть I. Теория |
|
Глава 2. Предел последовательности и функции |
|
2.2. Функциональная зависимость |
|
Меню 2.2.7. Функциональная зависимость в экономике |
Назад Вперёд |
Определение. Точка безубыточности — это такой такой объем выпуска , при котором издержки равны выручке: ( ) = ( ).
Очевидно, что при достижении объемом выпуска точки безубыточности прибыль становится равной нулю.
Определение. Функции спроса и предложения = ( ) и = ( ) задают зависимость спроса и предложения от цены товара (смотрите рисунок 2.39).
y |
S |
|
Q0
D
O |
p0 |
x |
Рисунок 2.39
Естественно, что по мере увеличения цены предложение растет, а спрос падает.
Определение. Точка рыночного равновесия ( 0; 0) — это точка пересечения линий спроса и предложения (смотрите рисунок 2.39). При этом цена 0 называется равновесной ценой, объем продаж 0 называется равновесным
объемом продаж.
Определение. Производственная функция выражает зависимость результатов производства от обуславливающих его факторов.
Определение. Функция полезности ( ) дает субъективную числовую оценку полезности некоторого действия.