Часть I. Теория

Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных 5.2. Экстремум функции двух переменных

Меню	Назад Вперёд

5.2. Экстремум функции двух переменных

5.2.1.Локальный экстремум

5.2.2.Глобальный экстремум

5.2.3.Условный экстремум

5.2.4.Метод множителей Лагранжа

5.2.5.Экстремум выпуклых функций

5.2.6.Функция полезности

Часть I. Теория
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
5.2. Экстремум функции двух переменных
Меню 5.2.1. Локальный экстремум	Назад Вперёд

5.2.1. Локальный экстремум

Определение. Точка 0( 0, 0) называется точкой локального максимума

функции = ( , ), если существует такая окрестность 0, для любой точки ( , ) которой выполняется неравенство ( , ) 6 ( 0, 0), и точкой локального минимума, если существует окрестность точки 0, где

( , ) > ( 0, 0).

Определение. Точки локального максимума и локального минимума называются точками локального экстремума.

В начале координат верхняя часть полусферы (рисунок 5.2) имеет гладкий локальный максимум, параболоид = 2 + 2 (рисунок 5.3) — гладкий локальный минимум, конус (рисунок 5.11) — острый локальный минимум.

z

z

O

y

O	y
x	x
Рисунок 5.11	Рисунок 5.12

Теорема 5.7 (необходимое условие локального экстремума). Если дифференцируемая в точке 0( 0, 0) функция = ( , ) имеет локальный экс-

Часть I. Теория
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
5.2. Экстремум функции двух переменных
Меню 5.2.1. Локальный экстремум	Назад Вперёд

тремум в этой точке, то обе ее частные производные в 0 обращаются в нуль:

	∂	( 0, 0) = 0,	∂	( 0, 0) = 0.	(5.8)
	∂		∂

Замечание 5.11. Необходимое условие экстремума не является достаточным. Например, частные производные функции = 2 − 2 равны нулю в точке 0(0, 0), однако эта функция не имеет экстремума в указанной точке. В самом деле, значение функции в точке 0 равно нулю, но в сколь угодно малой окрестности 0 функция принимает как положительные, так и отрицательные значения. Если, например, = 0, то = 2 > 0. Если = 0, то

= − 2 < 0.

Графиком функции = 2 − 2 является гиперболический параболоид

(рисунок 5.12), для которого 0 — это так называемая седловая точка.

Определение. Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума (5.8), будем называть стационарными точками.

Теорема 5.8 (достаточное условие локального экстремума). Пусть в стационарной точке 0( 0, 0) и некоторой ее окрестности функция = ( , ) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Положим

=	∂2	( 0),	=	∂2	( 0),	=	∂2	( 0),	= − 2.
	∂ 2			∂ ∂			∂ 2

Если в этих обозначениях

1)> 0, то в точке 0 функция имеет экстремум, причем

∙при < 0 либо < 0 это локальный максимум;

∙при > 0 либо > 0 это локальный минимум;

2)< 0, то в точке 0 экстремума нет;

Часть I. Теория
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
5.2. Экстремум функции двух переменных
Меню 5.2.1. Локальный экстремум	Назад Вперёд

3) = 0, то нужны дополнительные исследования: экстремум может быть, а может и отсутствовать.

Следующие два примера иллюстрируют третий пункт. Пример 5.16. Для функции = 4 + 4

∂

= 4 3,

∂

= 4 3.

∂

∂

Значит, точка 0(0, 0) является стационарной. Так как

∂2

= 12 2,

∂2

= 0,

∂2

= 12 2

,

∂ 2

∂ ∂

∂ 2

то в точке 0 имеем: = 0, = 0, = 0 и, таким образом,

= 0.

При этом 0

— это точка минимума функции , поскольку ( 0) = 0

и на всей плоскости R2 верно неравенство ( , ) > 0.

Пример 5.17. Для функции = 3 + 3

∂

= 3 2,

∂

= 3 2,

∂2

= 6 ,

∂2

= 0,

∂2

= 6 .

∂

∂

∂ 2

∂ ∂

∂ 2

Таким образом 0(0, 0) — стационарная точка, для которой

= 0.

В данном случае ( 0) = 0, и в каждой окрестности точки 0 есть

точки вида ( , 0), в которых функция

равна 3 и потому принимает

положительные значения для > 0

и отрицательные для < 0. Итак, в

любой окрестности точки 0

функция принимает значения, как большие,

так и меньшие, чем ( 0). Значит, в точке 0 экстремума нет. Пример 5.18. Найти точки локального экстремума функции

= 4 + 4 − .

Часть I. Теория
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
5.2. Экстремум функции двух переменных
Меню 5.2.1. Локальный экстремум	Назад Вперёд

Решение. Находим сначала частные производные первого порядка:

∂	= 4 3 − ,	∂	= 4 3 − .
∂		∂

Согласно необходимому условию локального экстремума экстремум возможен только в тех точках, где частные производные равны нулю. Составим и решим соответствующую систему уравнений:

4	3	−	= 0,						4 3,								= 4			3
	3					= 3 3														8,
		− = 0,								− = 0,												− 1) = 0.
4						4(4 )								(256
Имеем три стационарные точки:											(0; 0),		(	1	;		1 ),						(	1	; 1 ).
										1		2		−2		−2				3				2	2
Найдем частные производные второго порядка:
			∂2							∂2								∂2
	=			= 12 2,					=			= −1, =									= 12 2.
			∂ 2							∂ ∂								∂ 2
Отсюда	= − 2				= 144 2 2 − 1.
Вычислим значение									в каждой стационарной точке. Так как
						Δ( 1) = Δ(0; 0) = −1 < 0,
то в точке 1 нет экстремума. Далее,																	(−2, −2) > 0,
Δ( 2) =				(−2, −				2) = 8 > 0,				( 2) =
					1			1									1							1
поэтому 2 — точка локального минимума. Наконец,																				2)
		Δ( 3) =			(2,			2) = 8 > 0,				( 3) =					(2,							> 0.
					1			1									1			1

Значит, 3 — точка локального минимума.