Часть I. Теория
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
5.2. Экстремум функции двух переменных
Меню 5.2.6. Функция полезности	Назад Вперёд

5.2.6.Функция полезности

Воснове модели поведения потребителей лежит гипотеза, что каждый из них, осуществляя выбор наборов благ при заданных ценах и имеющемся доходе, стремится максимизировать уровень удовлетворения своих потребностей.

Пусть на рынке потребителю предлагается различных благ. Через

( 1, 2, 3, . . . , ), где — количество -го блага в натуральных единицах, будем обозначать конкретный набор благ. Блага приобретаются по рыночным ценам 1, 2, . . . , соответственно. Стоимость набора благ есть сумма

1 1 + 2 2 + · · · + =	∑
	.
	=1

В распоряжении потребителя имеется ограниченное число денег (доход), поэтому существует бюджетное ограничение

∑

6 .

=1

Полезность блага — это способность удовлетворять ту или иную потребность. Потребитель выбирает наиболее предпочтительный набор среди всех доступных.

В XIX веке была введена функция полезности для предпочтения одного набора другому. Основное ее свойство в том, что потребитель предпочитает набор , а не , если ( ) > ( ). Таким образом, функция полезности упорядочивает наборы имеющихся благ по предпочтению.

Определение. Функция полезности = ( , ), заданная на пространстве двух благ (товаров), — это субъективная числовая оценка полезности набора товаров ( , ).

Часть I. Теория

Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных 5.2. Экстремум функции двух переменных

Меню 5.2.6. Функция полезности

Назад Вперёд

Определение. Линии уровня функции полезности называют кривыми безразличия (рисунок 5.18).

Если ( 1, 1) = ( 2, 2), то потребителю безразлично, каким набором обладать, потому что они имеют одинаковую полезность (рисунок 5.18). Чем «северо-восточнее» расположена кривая безразличия, тем большему уровню она соответствует (рис. 4). Кривые безразлтчия являются убывающими.

y	C1 < C2	< C3	y
y1		C3	y0
y2		C2			C
		C1			p1x + p2y = R
O x1	x2	x	O	x0	x
	Рисунок 5.18			Рисунок 5.19

В теории потребительского выбора большую роль играют предельные полезности.

Определение. Предельные полезности выражают дополнительное удовлетворение от потребления одной дополнительной единицы блага. Математически это описывается частными производными функции полезности:

∂	=	lim	( +	, ) − ( , )	,	∂	=	lim	( , +	) − ( , )	.
∂						∂
		→0						→0

Предельные полезности положительны, так как с увеличением потребления блага его полезность возрастает.

Часть I. Теория

Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных

5.2. Экстремум функции двух переменных
Меню 5.2.6. Функция полезности			Назад Вперёд
Определение. Вектор градиента функции полезности
grad = (∂ ,		∂ )	,
	∂	∂

координаты которого есть предельные полезности, называется вектором предельных полезностей.

Закон убывающей полезности гласит, что с увеличением потребления блага его предельная полезность убывает, то есть

∂2	< 0,		∂2	< 0.
∂ 2		∂ 2

Определение. Если потребитель обладает доходом , то множество всех наборов товаров стоимостью не более называется бюджетным множеством. Граница бюджетного множества — это множество наборов, которые стоят ровно .

Задача потребительского выбора (ЗПВ), или задача рационального поведения потребителя на рынке заключается в выборе такого набора товарови , который максимизирует функцию полезности при заданном бюджетном ограничении, то есть

( , ) → max, 1 + 2 6 , > 0, > 0,

где 1 и 2 — цена первого и второго товаров соответственно.

Таким образом, на бюджетном множестве требуется найти точку, принадлежащую кривой безразличия с максимальным уровнем полезности. Графически поиск означает последовательный переход на линии все более высокого уровня полезности до тех пор, пока линии еще имеют общие точки с бюджетным множеством. Следовательно, искомая точка лежит на границе

Часть I. Теория
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
5.2. Экстремум функции двух переменных
Меню 5.2.6. Функция полезности	Назад Вперёд

бюджетного множества. В ней кривая безразличия касается линии бюджетного ограничения. Следовательно, ЗПВ можно заменить задачей на условный экстремум

( , ) → max, − ( 1 + 2 ) = 0.

Так как функция полезности является выпуклой, то на бюджетном множестве существует единственная точка максимума функции полезности. Значит, у потребителя даже нет выбора в том, как с наибольшей пользой потратить свои деньги, так как существует единственный набор ( 0, 0), максимизирующий полезность.

Определение. Точка ( 0, 0) максимума функции полезности называется точкой спроса (смотрите рисунок 5.19).

Чтобы решить задачу на условный экстремум, построим функцию Лагранжа

( , , ) = ( , ) + ( − 1 − 2 ),

для которой выпишем систему (5.9):

∂

∂

∂

∂

∂ =

∂ + (− 1) = 0,

= 1,

1

∂

∂

2

∂

∂ −

∂

∂

=

∂

∂

+ (

) = 0,

∂

∂

,

=

= 2,

2

∂

∂

= − ( 1 + 2 ) = 0,

1 + 2 = ,

1 + 2 = .

Отсюда

можно сделать вывод, что

1)точка спроса лежит на границе бюджетного множества;

2)в ней вектор предельных полезностей пропорционален вектору цен.

Часть I. Теория
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
5.2. Экстремум функции двух переменных
Меню 5.2.6. Функция полезности	Назад Вперёд

Определение. Координаты точки спроса есть функции параметров 1, 2,

. Они называются функциями спроса на первый и второй товары соответственно:

0 = 0( 1, 2, ),

0 = 0( 1, 2, ).

Это однородные функции нулевой степени относительно цен и дохода, то есть пропорциональное изменение цен и дохода не влечет изменение спроса на товары:

0( 1, 2, ) = 0 0( 1, 2, ),

0( 1, 2, ) = 0 0( 1, 2, ).

Пример 5.22. Найти точку спроса для функции полезности ( ; ) при ценах на товары 1 и 2 и доходе , если

а) ( , ) = min{ , 2 }; б) ( ; ) = √ √ .

Решение. а) Функция ( , ) = min{ , 2 } означает, что излишки первого и второго товара сверх отношения 2 : 1 не приносят пользы потребителю. Он получает б´ольшую пользу только при увеличении обоих товаров в пределах сохранения пропорции 2 : 1. Товары с такой функцией полезности называются взаимодополнительными. Составляем и решаем систему для нахождения точки спроса ( 0, 0):

1 + 2 = ,

0 =

,

0 =

2

.

б)

= 2 ,

2 1 + 2

2 1 + 2

Рассмотрим систему уравнений для поиска точки спроса:

√

∂

2√

1

1

1

∂

=

,

=

,

=

,

∂

2

2

1

2

√

2

∂

2√

+ = .

1 + 2 = ,

= ,

1 + 2

Часть I. Теория

Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных 5.2. Экстремум функции двух переменных

Меню 5.2.6. Функция полезности				Назад Вперёд
Отсюда видно, что 0 =		, 0 =		.
	2 1		2 2