Часть I. Теория
Глава 4. Теория интегрирования
4.5. Несобственные интегралы.
Меню 4.5.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций.	Назад Вперёд

4.5.2.Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Пусть теперь не выполняется условие б)(см. начало раздела), т.е. функциянеограничена на [ ; ]. Построим обобщение интеграла на этот случай.

Пусть функция определена на промежутке [ ; ). В любой окрестности точки = функция может быть неограниченной. Предположим, что функция интегрируема на любом отрезке [ ; ] [ ; ), т. е. существует

интеграл

∫

( ) ,

[ ; ).

Определение. Несобственным интегралом второго рода от функции ( ) на отрезке [ ; ] называется предел

	→ −0				(4.42)
		∫
	lim	( ) ,
т.е.	( ) =	→ −0	∫	( ) .
∫

lim

Если предел (4.42) существует и конечен, то рассматриваемый интеграл называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.

Геометрический смысл несобственного интеграла второго рода состоит в том, что он численно равен площади полубесконечной фигуры, ограниченной графиком неотрицательной функции, прямыми = , = и частью осью (рисунок 4.14).

Часть I. Теория
Глава 4. Теория интегрирования
4.5. Несобственные интегралы.
Меню 4.5.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций.	Назад Вперёд

		y
		y = f (x)
		O a		b x
		Рисунок 4.14
Если функция	определена на промежутке ( ; ] и неограничена в
окрестности точки = , то полагают:
	∫	lim	∫
		( ) = → +0		( ) .

Наконец, пусть функция определена на интервале ( ; ) и неограничена и в окрестности точки , и в окрестности точки . Произвольным образом выберем число ( ; ). Получим

∫ ( )	= ∫	( ) + ∫ ( ) .	(4.43)
Несобственный интеграл	∫ ( ) называют сходящимся, если оба

интеграла в правой части равенства (4.43) сходятся и расходящимся — в противном случае.

Часть I. Теория
Глава 4. Теория интегрирования
4.5. Несобственные интегралы.
Меню 4.5.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций.	Назад Вперёд

Пример 4.34. Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость):

∫1

√

.

1

2

0

−

Решение. Это

есть несобственный

интеграл

второго

рода, функции

( ) =

√

1

является неограниченной в любой окрестности точки = 1.

1−

2

Поэтому по формуле (4.42) имеем:

= arcsin 1 = 2 .

∫

√1

2 = →1−0 arcsin

0

→1−0

1

−

(

)

0

lim

=

lim arcsin

Пример 4.35. Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость):

∫1

.

0

Решение. По определению несобственного интеграла второго рода имеем

∫		→+0	∫		= →+0	(ln | | ) = →+0 −			∞
1		= lim	1		lim		1	lim (ln 1	ln ) = .

Значит, указанный интеграл расходится.

Замечание 4.5. Несобственный интеграл

∫1

, R.

0

сходится при < 1

и расходится при > 1.

[Доказательство]

Часть I. Теория
Глава 4. Теория интегрирования
4.5. Несобственные интегралы.
Меню 4.5.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций.	Назад Вперёд

Заметим, что несобственный интеграл второго рода также легко интегрируется геометрически.

Мы рассмотрели понятие несобственных интегралов. В расширенном курсе высшей математики подробно рассматриваются условия их сходимости и устанавливаются соответствующие признаки.