Часть I. Теория
Глава 3. Теория дифференцирования
3.1. Производная. Вывод таблицы
Меню 3.1.2. Геометрический смысл производной	Назад Вперёд

3.1.2. Геометрический смысл производной

Пусть функция = ( ) определена на интервале ( , ). Предположим, что кривая является графиком этой функции, рисунок 3.1. Пусть( 0; ( 0)) — какая-либо точка графика. Придадим аргументу приращение в точке 0. Соответствующую точку на графике обозначим через

( 0 + ; ( 0 + )).

Через точки и проведем прямую и назовем ее секущей. Если точкуустремить по кривой к точке , то положение секущей будет, вообще говоря, изменяться.

Определение. Касательной к кривой в точке называется предельное положение (если оно существует) секущей , когда точка неограниченно приближается к точке .

Обозначим через a угол между касательной и осью (или, что то же самое, между касательной и прямой , рисунок 3.1, а через— угол между секущей и осью , т.е. — угол наклона касательной к оси , а — угол наклона секущей к оси . Очевидно, lim tg = tg .

	→
	Так как tg =		, то будем иметь, что			lim		= tg . Но из рисун-
						→
	ка 3.1 видно, что
	= ( 0 + ) − ( 0), a = ( 0 + ) − 0 =								.
	Следовательно,			( 0 +	) − ( 0)
			lim			= tg
			→0

или ′( 0) = tg .

Часть I. Теория

Глава 3. Теория дифференцирования 3.1. Производная. Вывод таблицы

Меню 3.1.2. Геометрический смысл производной

y

f (x0 + x)
f (x0)	M
	b
	A

Назад Вперёд

B

P

b

T

N

O a	x0	x0 + x b x
	Рисунок 3.1

Геометрический смысл производной функции состоит в том, что производная функции = ( ) в точке = 0 есть тангенс угла наклона касательной к ее графику в точке ( 0; ( 0)). Другими словами, ′( 0) есть угловой коэффициент касательной к графику функции в точке ( 0; 0).

Теперь, учитывая уравнение прямой, проходящей через данную точку, с данным угловым коэффициентом (1.6), несложно получить уравнение касательной:

− 0 = ′( 0)( − 0).

(3.2)

Определение. Прямая, проходящая через точку ( 0; ( 0)) и перпендикулярная касательной, называется нормалью к графику в этой точке.

Учитывая условие перпендикулярности двух прямых (1.13), можем записать уравнение нормали:

		−		0		′( 0)		−	0		(3.3)
					=	−1	(			),
полагаем, что ′(	) = 0. Если				же ′(		) = 0, то нормалью будет прямая
0	̸					0

= 0.

Часть I. Теория
Глава 3. Теория дифференцирования
3.1. Производная. Вывод таблицы
Меню 3.1.2. Геометрический смысл производной	Назад Вперёд

Пример 3.3. Найти уравнение касательной и нормали к графику функции

= 2 + 3 −2 в точке (1; 5).

Решение. Полагаем 0 = 1. Очевидно, (1) = 5. Найдем ′(1):

′ = 2 − 6 −3, ′(1) = 2 − 6 = −4.

Теперь воспользуемся формулой (3.2) и запишем уравнение касательной в точке (1; 5):

− 5 = (−4)( − 1),

− 5 = −4 + 4,

= −4 + 9.

Уравнение нормали будет иметь следующий вид:

− 5 =	1	( − 1),	=	1	+ 4,8.
	4			4

Часть I. Теория
Глава 3. Теория дифференцирования
3.1. Производная. Вывод таблицы
Меню 3.1.3. Физический смысл производной	Назад Вперёд

3.1.3. Физический смысл производной

Пусть некоторая материальная точка движется прямолинейно и задан закон ее движения = ( ), т.е. известно расстояние ( ) от точки до некоторой начальной точки отсчета в каждый момент времени . В момент

времени 0 точка		пройдет расстояние ( 0), а			в момент времени 0 +	—
расстояние ( 0 +			). За промежуток времени		точка пройдет рассто-
яние = ( 0 +		) − ( 0).
Отношение			можно рассматривать как среднюю скорость движения
на промежутке времени [ 0; 0 +				]. Чем меньше промежуток времени		,

тем точнее соответствующая средняя скорость будет характеризовать движение точки в момент времени 0. Поэтому предел средней скорости движения при → 0 называют скоростью движения (или мгновенной скоростью

движения) точки в момент времени 0			и обозначают ( 0), т.е.
( 0) =	lim	( 0 +	) − ( 0)	.
	→0

Но выражение справа есть ′( 0). Таким образом,

( 0) = ′( 0),

т.е. скорость движения в момент времени 0 есть производная от пройденного расстояния по времени.

Понятие скорости, заимствованное из механики, удобно использовать и при изучении производной функции. Какую бы зависимость ни отражала бы функция = ( ), отношение есть средняя скорость изменения зависимой переменной относительно аргумента , a ′( ) есть скорость изменения в точке .