Часть I. Теория
Глава 2. Предел последовательности и функции
2.2. Функциональная зависимость
Меню 2.2.2. Способы задания функции.	Назад Вперёд

2.2.2. Способы задания функции.

Чтобы задать функцию, требуется указать правило: как по каждому значению аргумента находить соответствующее значение функции= ( ). Существуют три основных способа задания функции: аналитический, табличный и графический.

1. Аналитический способ. Если зависимость между переменными выражена с помощью формул, то говорят, что функция задана аналитически. Формула, задающая функцию, указывает совокупность действий, которые нужно в определенном порядке произвести, чтобы получить соответствую-

щее значение функции.	√
Рассмотрим, например, функцию =
	− 1. Функция, заданная этой

формулой, определена на промежутке [1; +∞). Чтобы вычислить значение функции [1; +∞), необходимо от значения аргумента вычесть 1 и извлечь из полученного числа квадратный корень. Множеством значений

является промежуток [0; +∞). Графиком функции является множество всех
точек плоскости с координатами ( ;	√	пробегает здесь
	− 1), переменная

промежуток [1, +∞) (рисунок 2.5).

y			√
3		y =	x − 1
1
O	1	3	5	x
		Рисунок 2.5

	y
		y = sign x
	1
−2	−1 O	1	2	x
		−1
	Рисунок 2.6

Часть I. Теория

Глава 2. Предел последовательности и функции

2.2. Функциональная зависимость
Меню 2.2.2. Способы задания функции.		Назад Вперёд
Пусть	1,
=		если (0; +∞),
	0,	если = 0,
		если (−∞; 0).
	−1,

Данная функция выражена при помощи нескольких формул. Областью определения является вся числовая прямая, множество значений состоит из трех элементов: −1, 0, 1. График изображен на рисунке 2.6. Рассматриваемую функцию обозначают

= sign .

2.Табличный способ. Предположим, что нас интересует зависимость расхода топлива от скорости движения легкового автомобиля определенной марки. В инструкции к автомобилю имеется таблица 2.1.

Таблица 2.1

Скорость движения (км/час)	70	80	90	100	110	120
Расход топлива (л/100 км)	6,6	6,3	6,1	6,4	7,0	8,0

Из таблицы видно, что расход топлива изменяется в зависимости от скорости движения автомобиля и, если каждому значению скорости, записанному в первой строке таблицы, поставить в соответствие число литров топлива, стоящих во второй строке и в этом столбце, то получим функцию, заданную таблично. Областью определения этой функции является множество из 6 чисел, стоящих в первой строке. Множеством значений является также совокупность из 6 чисел второй строки.

С помощью таблицы часто задают функции, значения которых вычислить сложно. Например, широко известны таблицы тригонометрических функций, показательной и логарифмической функций и т.д.

Часть I. Теория
Глава 2. Предел последовательности и функции
2.2. Функциональная зависимость
Меню 2.2.2. Способы задания функции.	Назад Вперёд

Заметим, что имеются способы перехода от функций, заданных таблично, к функциям, которые заданы аналитически. Безусловно, это можно сделать, как правило, лишь приближенно.

3. Графический способ. В данном случае предполагается, что задан график функции = ( ) (см., например, рисунок 2.7).

y

y

1

O	1		x	x
			Рисунок 2.7

Здесь, чтобы для некоторого значения аргумента найти соответствующее значение функции, нужно построить на оси точку , затем восстановить в этой точке перпендикуляр к оси , найти точку пересечения этого перпендикуляра с графиком и найти длину этого перпендикуляра. Значение функции будет равно этому числу с соответствующим знаком.

Примерами графического изображения могут быть записи самопишущих приборов (барографы, осциллографы и т.д.).

Часть I. Теория
Глава 2. Предел последовательности и функции
2.2. Функциональная зависимость
Меню 2.2.3. Основные характеристики функций	Назад Вперёд

2.2.3. Основные характеристики функций

Определение. Функция : → , заданная на симметричном относительно начала координат множестве , называется четной, если верно, что (− ) = ( ), и нечетной, если имеет место равенство

(− ) = − ( ).

График четной функции симметричен относительно оси , а нечетной — относительно начала координат. Примером четной является функция= 2 (рисунок 2.12), нечетной — = 3 (рисунок 2.13). Функция = 2 (рисунок 2.18) имеет общий вид, т.е. не является как четной, так и нечетной.

Определение. Функция : → называется возрастающей (убывающей) на множестве , если 1, 2 из того, что 1 < 2, следует неравенство ( 1) 6 ( 2) ( ( 1) > ( 2)).

Определение. Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.

Определение. Функция : → называется строго возрастающей (строго убывающей) на множестве , если 1, 2 из того, что 1 < 2, следует строгое неравенство ( 1) < ( 2) ( ( 1) > ( 2)).

Определение. Строго возрастающие и строго убывающие функции называются строго монотонными.

Определение. Интервалы, на которых функция монотонна, называются интервалами монотонности этой функции.

Функция = 2 (рисунок 2.12) монотонно убывает на интервале (−∞, 0] и возрастает на интервале [0, +∞), но не является монотонной на всей числовой оси. В данном случае (−∞, 0] — интервал убывания, [0, +∞) — интервал возрастания.

Часть I. Теория

Глава 2. Предел последовательности и функции

2.2. Функциональная зависимость
Меню 2.2.3. Основные характеристики функций		Назад Вперёд
Определение. Функция : → называется ограниченной, если
> 0 :		| ( )| 6 .
Определение. Функция : → называется неограниченной, если
> 0	:	| ( )| > .

Функция = arctg (рисунок 2.28) является ограниченной на R, так как R | arctg | 6 /2, а функция = tg (рисунок 2.24) является неограниченной на интервале (− /2; /2), так как не существует числа> 0 такого, чтобы (− /2; /2) имела место оценка | tg | 6 .

Определение. Функция : → называется периодической, если существует такое число ̸= 0, что для всякого значение + также принадлежит области определения и ( + ) = ( ). При этом число называют периодом функции. Наименьший положительный период называ-

ют основным периодом.

Периодической является, например, функция = sin (рисунок 2.22). В качестве ее периода могут выступать числа ±2 , ±4 , ±6 , . . . Основной период всегда единственный. В данном случае он равен 2 .