Часть I. Теория

Глава 4. Теория интегрирования 4.1. Неопределенный интеграл

Меню	Назад Вперёд

4.1. Неопределенный интеграл

4.1.1.Первообразная

4.1.2.Неопределенный интеграл

4.1.3.Таблица интегралов

4.1.4.Простейшие методы интегрирования

Часть I. Теория
Глава 4. Теория интегрирования
4.1. Неопределенный интеграл
Меню 4.1.1. Первообразная	Назад Вперёд

4.1.1. Первообразная

Основной операцией дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. Однако, естественно, возникает вопрос о существовании операции, обратной дифференцированию. Восстановление функции по известной производной этой функции есть основная задача интегрального исследования.

Определение. Функция называется первообразной для функции на некотором промежутке , если : ′( ) = ( ).

Пример 4.1. Найдите первообразную для функции ( ) = 2 .

Решение. Используя таблицу производных, легко подобрать функцию ( ) таким образом, что ′( ) = 2 . Например, ( ) = 2. Однако, используя то, что производная константы равны нулю, в качестве, первообразной для

функции ( ) = 2 можно взять и 1( ) = 2					+ 1, и 2( ) = 2 − 2.
	Учитывая пример, можно заключить, что задача об отыска-
нии	первообразной	по	данной функции		решается неоднозначно. Ес-
ли,	например,	есть	первообразная	для функции , то функция

( ) + также является первообразной для функции . Действительно,

( ( ) + )′ = ′( ) + ( )′ = ( ) + 0 = ( ). В частности, функция ( 2 + ), где — произвольная постоянная, есть первообразная для функции 2 на

R.

Теорема 4.1. Если функция ( ) является первообразной для функции ( ) на интервале ( ; ), то множество всех первообразных задается формулой

( ) + ,

где — произвольная постоянная.

Часть I. Теория
Глава 4. Теория интегрирования
4.1. Неопределенный интеграл
Меню 4.1.1. Первообразная	Назад Вперёд

Доказательство. Вначале покажем, что функция ( )+ является первообразной для функции ( ), т.е. ( ( )+ )′ = ( ). Этот факт непосредственно следует из того, что ( ) — первообразная функции ( ), т.е. ′( ) = ( ) и правил дифференцирования:

( ( ) + )′ = ′( ) + ( )′ = ( ) + 0 = ( ).

Теперь покажем, что никакая другая функция, кроме указанных, не может являтся первообразной для функции ( ). Действительно, пусть некоторая функция Φ( ) является первообразной функции ( ), т.е. Φ′( ) = ( ). Тогда

(Φ( ) − ( ))′ = Φ′( ) − ′( ) = ( ) − ( ) = 0.

Окончательно, применяя условие постоянства функции, получим

Φ( ) − ( ) =

Φ( ) = ( ) + .

Таким образом, если известна хотя бы одна первообразная для данной функции , то известно и все множество первообразных для этой функции.

Часть I. Теория
Глава 4. Теория интегрирования
4.1. Неопределенный интеграл
Меню 4.1.2. Неопределенный интеграл	Назад Вперёд

4.1.2. Неопределенный интеграл

Определение. Неопределенным интегралом от функции ( ) называется множество всех первообразных этой функции и обозначается

∫

( ) .

Используя теорему 4.1 заключаем, что

∫

( ) = ( ) + ,

где ( ) — одна из первообразных функции ( ).

Замечание 4.1. Всякая непрерывная функция на множестве имеет на этом множестве первообразную, а значит и неопределенный интеграл.

Определение. График каждой первообразной называется интегральной кривой.

Заметим, что интегральная кривая ( ) + получается из интегральной кривой ( ) параллельным переносом вдоль оси на единиц (рисунок 4.1).

y
	y = F (x) + C
	y = F (x)
O	x

Рисунок 4.1

Часть I. Теория
Глава 4. Теория интегрирования
4.1. Неопределенный интеграл
Меню 4.1.2. Неопределенный интеграл	Назад Вперёд

Геометрический смысл неопределенного интеграла состоит в том, что неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых, получаемых друг из друга параллельным переносом вдоль оси .

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функ-

ции, т.е.	( ∫	( ) )′
			= ( ).

[Доказательство]

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному

выражению, т.е.	∫
	( ) = ( ) .

[Доказательство]

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции ра-

вен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.

∫

( ) = ( ) + .

[Доказательство]

Из этого свойства, в частности следует, что

∫

= + .

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если

= const ̸= 0, то	∫	( ) = ∫	( ) .

	Часть I. Теория
	Глава 4. Теория интегрирования
	4.1. Неопределенный интеграл
Меню	4.1.2. Неопределенный интеграл							Назад Вперёд
								[Доказательство]
5.	Неопределенный интеграл от суммы двух функций равен сумме инте-
гралов от этих функций, т.е.					( ) + ∫
		∫	( ( ) + ( )) = ∫				( ) .
								[Доказательство]
Замечание 4.2. Из свойств 4 и 5 следует равенство
	∫	( ( ) + ( )) = ∫		( ) + ∫		( ) ,		, R.