Часть I. Теория |
|
Глава 8. Линейная алгебра |
|
8.1. Матрицы и определители |
|
Меню 8.1.2. Операции над матрицами |
Назад Вперёд |
8.1.2. Операции над матрицами
Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд действий, причём некоторые из них аналогичны операциям над числами, а некоторые — специфические.
Определение. Суммой двух матриц × = ( ) и × = ( ) одинаковых
размеров называется матрица + = × = ( ), элементы которой равны сумме элементов матриц и , расположенных на соответствующих местах:
= + , = 1, , = 1, .
Пример 8.4. Для заданных матриц и находим сумму + :
|
2 |
3 |
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
1 |
6 |
= |
0 |
−6 |
, |
= |
2 |
0 |
, |
+ = |
2 |
6 |
||
1 |
5 |
−1 |
7 |
−2 |
2 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение. Произведением матрицы = ( ) на число называется матрица = ( ) того же размера, что и матрица , полученная умножением всех элементов матрицы на число .
Пример 8.5. Для заданной матрицы находим матрицу |
3 : |
||||||||
= |
(1 |
5 |
4) |
, |
3 = |
(3 |
15 |
12). |
|
|
2 |
3 |
0 |
|
|
6 |
9 |
0 |
|
Определение. Матрицу − = (−1) · будем называть противоположной матрице .
Определение. Разностью матриц и одинаковых размеров называется сумма матрицы и матрицы, противоположной к , то есть
− = + (− ).
Часть I. Теория |
|
Глава 8. Линейная алгебра |
|
8.1. Матрицы и определители |
|
Меню 8.1.2. Операции над матрицами |
Назад Вперёд |
Несложно доказать, что операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:
1) |
+ = + , |
5) |
1 · = , |
2) |
( + ) + = + ( + ), |
6) |
( + ) = + , |
3) |
+ = , |
7) |
( + ) = + , |
4) |
− = , |
8) |
( ) = ( ) . |
Рассмотренные действия над матрицами аналогичны соответствующим действиям над числами. Этого нельзя сказать про вводимое ниже произведение матриц, которое возможно только для так называемых согласованных матриц.
Определение. Две матрицы называются согласованными, если число столбцов первой равно числу строк второй.
Определение. |
Произведением согласованных |
матриц × |
= ( ) и |
|||||||
|
× |
= ( |
|
) |
называется матрица |
× |
= ( |
|
), элемент |
которой вы- |
|
|
|
|
|
|
|
||||
числяется как сумма произведений элементов -й строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы :
|
|
= 1 1 + 2 2 + · · · + = |
∑ |
. |
|
|
=1 |
Вычисление элемента проиллюстрировано на рисунке 8.1.
Замечание 8.2. Из того, что задано произведение , не следует существования произведения . Дело в том, что согласованность матриц и, вообще говоря, не обеспечивает согласованности матриц и (рисунок 8.1).
Часть I. Теория |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 8. Линейная алгебра |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8.1. Матрицы и определители |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Меню 8.1.2. Операции над матрицами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Назад Вперёд |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
• • • |
|
|
• • • •-й |
• |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
столбец B |
|
||
|
|
• |
• |
• |
|
|
|
• |
• |
• |
|
• |
• |
|
|
|
||
i-я строка A • |
• |
• |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
• |
• |
|
• |
• |
|
|
||
|
• |
• • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 8.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 8.6. Вычислить произведение матриц и , где |
|
|
||||||||||||||||
|
|
(3 |
|
1 0) |
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
= 1 0 2 |
, |
= |
−5 1 . |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. По определению произведения матриц |
|
· 1 + 0 |
· 0) |
|
||||||||||||||
= (3 · |
(−1) + 1 |
· 5 + 0 |
· |
(−2) |
3 · |
0 + 1 |
= |
|||||||||||
1 ( 1) + 0 5 + 2 ( 2) |
1 0 + 0 1 + 2 0 |
|
||||||||||||||||
· |
− |
|
|
|
· |
|
|
· |
− |
|
· |
|
|
|
· |
|
· |
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= −5 0 .
21
Умножение матриц обладает следующими свойствами:
1) |
( + ) = + , |
3) |
( ) = ( ) = ( ), |
2) |
( + ) = + , |
4) |
( ) = ( ) . |
Замечание 8.3. Для квадратных матриц и одинаковых порядков заданы оба произведения и . При этом, вообще говоря, ̸= , то есть произведение матриц не обладает свойством перестановочности.
Пример 8.7. Найти произведения и матриц
= |
(3 |
4) |
, |
= |
(6 |
8). |
|
1 |
2 |
|
|
0 |
5 |
Часть I. Теория |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 8. Линейная алгебра |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8.1. Матрицы и определители |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Меню 8.1.2. Операции над матрицами |
|
|
|
|
|
|
|
Назад Вперёд |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Имеем: |
(3 |
· 0 + 4 |
· |
|
|
· 5 + 4 |
· |
8) |
|
(24 |
47) |
|
= |
6 |
3 |
= |
, |
||||||||
|
1 |
0 + 2 6 |
1 |
5 + 2 8 |
|
12 |
21 |
|
||||
|
(6 |
· |
· |
|
|
· |
· |
4) |
|
(30 |
44). |
|
= |
· 1 + 8 |
· |
3 |
6 |
· 2 + 8 |
· |
= |
|||||
|
0 |
1 + 5 3 |
0 |
2 + 5 4 |
|
15 |
20 |
|
||||
|
|
· |
· |
|
|
· |
· |
|
|
|
|
|
Итак, в данном случае ̸= .
Определение. Матрицы и , для которых = , называются перестановочными.
Любая квадратная матрица , очевидно, является перестановочной с единичной матрицей и нулевой матрицей , причём
= = , |
= = 0. |
Определение. Если N, то -й степенью квадратной матрицы называется произведение матриц :
= · · . . . · .
раз
По определению считают, что 0 = .
Операция возведения в степень обладает следующими привычными свойствами:
1) · = + , |
2) ( ) = . |
Определение. Многочленом степени от квадратной матрицы называется выражение вида
( ) = + −1 −1 + . . . + 1 1 + 0 0,
где 0, 1, . . . , — произвольные числа.
Часть I. Теория |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 8. Линейная алгебра |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8.1. Матрицы и определители |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Меню 8.1.2. Операции над матрицами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Назад Вперёд |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример 8.8. Найти значение ( ), если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
(2 |
|
|
1) |
, ( ) = 2 3 − 4 2 + 3. |
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Вычисляем 2 и 3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
= (0 1) |
|
|
||||||||
2 = · = (2 1)(2 1) |
, |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
1 |
|
0 |
|
|
1 |
0 |
|
|
||
3 = · 2 = |
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
(2 1). |
|
||||||
(2 1)(0 1) |
= |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
Находим ( ): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = 2 3 − 4 2 + 3 = |
|
|
1) + 3 (0 |
|
|
1) = |
(4 |
|
3). |
||||||||||
= 2 (2 |
|
1) |
− 4 |
(0 |
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
Определение. Матрица , столбцы которой составлены из строк матрицыс теми же номерами, называется транспонированной к матрице .
Пример 8.9. Найти матрицу, транспонированную к данной матрице:
(3 |
1 |
0) |
|
2 |
0 |
= 1 |
0 |
2 , |
= |
1 |
3 |
0 |
1 . |
||||
|
|
|
|
|
|
Перечислим основные свойства операции транспонирования:
Часть I. Теория |
|
Глава 8. Линейная алгебра |
|
8.1. Матрицы и определители |
|
Меню 8.1.2. Операции над матрицами |
Назад Вперёд |
2) |
( |
) |
|
|
|
, |
4) |
|
|
|
|
|
|
. |
1) |
|
|
= , |
|
|
3) |
( + ) = |
|
+ , |
|||||
|
( ) |
|
= |
|
|
|
( ) |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||