Часть I. Теория
Глава 4. Теория интегрирования
4.4. Приложения интеграла. Несобственные интегралы
Меню 4.4.3. Объем тела вращения	Назад Вперёд

4.4.3. Объем тела вращения

Пусть функция непрерывна и неотрицательна на отрезке [ ; ]. Построим соответствующую криволинейную трапецию (рисунок 4.11).

Если криволинейную трапецию вращать вокруг оси , то образуется тело, называемое телом вращения (рисунок 4.12). Поставим задачу определения и вычисления объема этого тела.

y

C

D

A

B

O

a = x0 x1

xk−1 ξk xk

x0 = b

Рисунок 4.11

С этой целью разобьем отрезок [ ; ] точками:

=	0	<	1	< . . . <	= ,	=	− −1,	=	max	.
									16 6
Произвольно				выберем	по	точке	[ −1; ],		вычислим ( ),

= 1, 2, . . . , . Теперь построим плоскости, проходящие через каждую точкуи перпендикулярные оси . Они разобьют тело на частей (элементарных тел). Каждое элементарное тело заменим цилиндром с радиусом ( )

Часть I. Теория
Глава 4. Теория интегрирования
4.4. Приложения интеграла. Несобственные интегралы
Меню 4.4.3. Объем тела вращения	Назад Вперёд

	ξk
b a	xk−b 1 b xk	b b	x

Рисунок 4.12

и высотой . Объем такого цилиндра равен ( ( ))2 , и естественно полагать, что объем тела

∑

= ( ( ))2 .

=1

Вправой части этого равенства стоит интегральная сумма для функции 2( ) на отрезке [ ; ]. Поэтому, переходя к пределу при → 0, найдем

∫

= 2( ) . (4.34)

Таким образом, формула (4.34) есть формула для вычисления объемов тел вращения вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции = ( ) и прямыми = , = , = 0.

Если же криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной

Часть I. Теория
Глава 4. Теория интегрирования
4.4. Приложения интеграла. Несобственные интегралы
Меню 4.4.3. Объем тела вращения	Назад Вперёд

функции = ( ) > 0 и прямыми = 0, = , = ( < ), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси , равен

∫

= 2( ) .

Пример 4.27. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси области под параболой = 2 от = 0 до = 2.

Решение. По формуле (4.34) имеем

=	∫	4 = 5 0 = 5 .
	2	5			2	32
	0

Часть I. Теория

Глава 4. Теория интегрирования 4.4. Приложения интеграла. Несобственные интегралы

Меню 4.4.4. Использование понятия определенного интеграла в экономике Назад Вперёд

4.4.4.Использование понятия определенного интеграла в экономике

Рассмотрим сначала экономический смысл определенного интеграла. Пусть функция ( ) описывает изменение производительности некото-

рого завода с течением времени. Найдем объем продукции , произведенной за промежуток времени [0; ].

Если предположить, что производительность не изменяется с течени-

ем времени (т.е. ( ) = const), то объем продукции	, произведенной за
некоторый промежуток времени [ ; + ], задается формулой		= ( )Δ .

Если ( ) не является постоянной функцией, то справедливо приближенное

равенство	≈ ( )Δ , где [ ; +	], которое оказывается тем точнее,
чем меньше	.

Поэтому для решения задачи о нахождении объема продукции поступим так же, как при нахождении площади криволинейной трапеции. Разобъем отрезок [0; T] на промежутки времени точками:

0 = 0 < 1 < 2 < . . . < = .

Для величины объема продукции , произведенной за промежуток времени

[ −1; ], =	1,	имеем:
	≈ ( )Δ , где		[ −1; ],		= − −1.
Тогда
		∑		∑
		≈	=	( )Δ .
		=1		=1

Часть I. Теория

Глава 4. Теория интегрирования 4.4. Приложения интеграла. Несобственные интегралы

Меню 4.4.4. Использование понятия определенного интеграла в экономике Назад Вперёд

При стремлении max к нулю каждое из использованных приближенных равенств становится все более точным, поэтому

		∑
= lim		( )Δ .
max	→0	=1

Учитывая определение определенного интеграла, окончательно получаем= ∫0 ( ) , т.е. если ( ) — производительность труда в момент времени

, то ∫0 ( ) есть объем выпускаемой продукции за промежуток [0; ]. Сравнивая данную задачу с задачей нахождения площади криволиней-

ной трапеции, получаем, что величина объема продукции, произведенной за промежуток времени [0; ], численно равна площади фигуры, ограниченной графиком функции ( ), описывающей изменения производительности труда с течением времени, отрезком [0; ] и прямыми = 0, = .

Пример 4.28. Определить объем продукции, произведенной рабочим за второй час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функ-

цией ( ) =		2	+ 3.
		3 +4
Решение.					= (	3 ln |3 + 4| + 3 )1
= ∫ (3 + 4 + 3)														=
2		2				2							2
1
						2				2					2		10
							=		ln 10 −		ln 7 + 6 − 3 =					ln		+ 3.
								3		3					3		7
В экономических исследованиях часто используется производственная
функция Кобба—Дугласа
					( , ) = 0 1 2 ,													(4.35)

Часть I. Теория

Глава 4. Теория интегрирования 4.4. Приложения интеграла. Несобственные интегралы

Меню 4.4.4. Использование понятия определенного интеграла в экономике Назад Вперёд

где — затраты труда, 2 — затраты капитала (объем производственных фондов). Подробнее об этой функции будет идти речь в разделе «Функции двух переменных».

Если в (4.35) затраты труда есть линейная зависимость от времени, а затраты капитала неизменны, то функцию Кобба—Дугласа можно преобразовать к виду

( ) = ( + ) .

Тогда объем выпускаемой продукции за лет составит:

∫

=

( + ) .

(4.36)

0

Пример 4.29. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба—Дугласа имеет вид ( ) = (1 + ) 3 .

Решение. По формуле (4.36) объем произведенной продукции равен

=	∫	(1 + ) 3 = 3 ( + 1) 0 − ∫							3 3					=
	4			3		4	4		1
	0						0
												4
		1					1							1
		=	3	(5 12 − 1) −			9	3 0					=		9	(14 12 − 2) ≈ 2,53 · 105.
Для вычисления интеграла здесь использован																	метод интегрирования

по частям, при этом = + 1, = 3 , тогда = , = 13 3 .

Часто для решения экономических задач применяют теорему о среднем значении и формулу

∫

( ) = ( )( − ),

где [ ; ].

Часть I. Теория

Глава 4. Теория интегрирования 4.4. Приложения интеграла. Несобственные интегралы

Меню 4.4.4. Использование понятия определенного интеграла в экономике Назад Вперёд

Число ( ) =	1	∫	( )	называют средним значением функции ( )
	−

на отрезке [ ; ].

На практике нередко вычисляют такого рода средние значения, например, средняя производительность труда, средняя мощность электродвигателей и т.д.

Пусть известна функция = ( ), описывающая изменение затрат времени на изготовление изделия в зависимости от степени освоения производства, где — порядковый номер изделия в партии. Тогда среднее время, затраченное на изготовление одного изделия в период освоения от 1 до 2 изделий, вычисляется по теореме о среднем

= 2		− 1 ∫1		( ) .
		1	2

Что касается функции изменения затрат времени на изготовление изделий= ( ), то она часто имеет вид:

= − ,

(4.37)

где — затраты времени на первое изделие, — показатель производственного процесса.

Пример 4.30. Найти среднее значение издержек ( ) = 3 2 + 4 + 1, выраженных в денежных единицах, если объем продукции меняется от 0 до 3 единиц. Указать объем продукции, при котором издержки принимают среднее значение.

Часть I. Теория

Глава 4. Теория интегрирования 4.4. Приложения интеграла. Несобственные интегралы

Меню 4.4.4. Использование понятия определенного интеграла в экономике Назад Вперёд

Решение. Применяя теорему о среднем значении, имеем:

( ) = 3		∫	(3 2	+ 4 + 1) =	3	(3 3		+ 4 2			+ )0		=
1		3−0			1		3			2		3
		0
								1
						=			(27 + 18 + 3) = 16 (ден. ед.),
								3

т.е. среднее значение издержек равно 16.

Определим, при каком объеме продукции издержки принимают это среднее значение, т.е. решим уравнение

3 2 + 4 + 1 = 16.

Учитывая, что объем продукции не может быть отрицательным, из последнего уравнения имеем = 53 (ед. продукции).

Определение начальной суммы по ее конечной величине, полученной через время (лет) при годовом проценте (процентной ставке) , называется дисконтированием. Задачи такого рода встречаются при определении экономической эффективности капитальных вложений.

Пусть — конечная сумма, полученная за лет, и — дисконтируемая (начальная) сумма, которую в финансовом анализе называют также со-

	временной суммой. Если проценты простые, то = (1+ ), где =									—
								100
	удельная процентная ставка. Тогда =						. В случае сложных процентов
						1+
	= (1 + )		и поэтому =		.
				(1+ )

Пусть поступающий ежегодно доход изменяется во времени и описывается функцией ( ), и при удельной норме процента, равной , процент

Часть I. Теория

Глава 4. Теория интегрирования 4.4. Приложения интеграла. Несобственные интегралы

Меню 4.4.4. Использование понятия определенного интеграла в экономике Назад Вперёд

начисляется непрерывно. В этом случае дисконтированный доход за время вычисляется по формуле:

∫

=

( ) − .

(4.38)

0

Пример 4.31. Определить дисконтированный доход за три года при процентной ставке 8%, если первоначальные (базовые) капиталовложения составили 10 тыс. условных единиц и намечается ежегодное увеличение капиталовложения на 1 тыс. у.е.

Решение. Очевидно,	что капиталовложения		задаются функцией
( ) = 10 + 1 · =	10 + . Тогда по формуле		(4.38) дисконтируемая
сумма капиталовложений
	= ∫03	(10 + ) −0,08 .

Применяя формулу интегрирования по частям, получим = 30,5 тыс. усл. единиц.

Это означает, что для получения одинаковой наращиваемой суммы через три года ежегодные капиталовложения от 10 до 13 тыс. у. е. равносильны одновременным первоначальным вложениям 30,5 тыс. у. е. при той же начисляемой непрерывно процентной ставке.