- •Общая информация
- •Методические указания
- •Комплект поставки, требования к системе, процедура запуска
- •Принцип построения и структура
- •Знакомство с ЭУМК
- •Рекомендации для преподавателя
- •Лекции
- •Организация практических занятий
- •Тесты
- •Рекомендации для студента
- •Изучение теоретического материала
- •Практические занятия
- •Тесты
- •Типовые программы курсов
- •Указатель по направлениям и специальностям
- •Список учебных программ
- •Рекомендуемая литература
- •Часть I. Теория
- •Глава 1. Аналитическая геометрия
- •1.1. Прямая на плоскости
- •1.1.1. Декартовы координаты
- •1.1.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •1.1.3. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
- •1.1.4. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
- •1.1.5. Общее уравнение прямой
- •1.1.7. Угол между двумя прямыми
- •1.1.8. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •1.1.9. Расстояние от точки до прямой
- •1.1.10. Взаимное расположение двух прямых на плоскости
- •1.2. Кривые второго порядка
- •1.2.1. Окружность
- •1.2.2. Эллипс
- •1.2.3. Гипербола
- •1.2.4. Парабола
- •1.2.5. Кривые второго порядка со смещенным центром
- •Глава 2. Предел последовательности и функции
- •2.1. Предел числовой последовательности
- •2.1.1. Числовая последовательность
- •2.1.2. Предел последовательности
- •2.1.3. Бесконечно малые последовательности
- •2.1.4. Бесконечно большие последовательности
- •2.1.5. Сходящиеся последовательности
- •2.1.6. Предельный переход в неравенствах
- •2.1.7. Монотонные последовательности
- •2.1.8. Непрерывное начисление процентов
- •2.2. Функциональная зависимость
- •2.2.1. Понятие функции
- •2.2.2. Способы задания функции.
- •2.2.3. Основные характеристики функций
- •2.2.4. Понятие обратной и сложной функции
- •2.2.5. Элементарные функции
- •2.2.6. Построение графиков функций
- •2.2.7. Функциональная зависимость в экономике
- •2.3. Предел функции. Два замечательных предела
- •2.3.1. Предел функции по Гейне
- •2.3.2. Предел функции по Коши
- •2.3.3. Односторонние пределы
- •2.3.4. Бесконечно малые функции
- •2.3.5. Бесконечно большие функции
- •2.3.6. Свойства предела функции
- •2.3.7. Признак существования предела функции
- •2.3.8. Замечательные пределы
- •2.3.9. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •2.4. Непрерывные функции
- •2.4.1. Непрерывность функции в точке
- •2.4.2. Теоремы о непрерывных в точке функциях
- •2.4.3. Точки разрыва и их классификация
- •2.4.4. Непрерывность элементарных функций
- •2.4.5. Теоремы о непрерывных на отрезке функциях
- •Глава 3. Теория дифференцирования
- •3.1. Производная. Вывод таблицы
- •3.1.1. Понятие производной
- •3.1.2. Геометрический смысл производной
- •3.1.3. Физический смысл производной
- •3.1.4. Правила дифференцирования
- •3.1.5. Таблица производных основных элементарных функций. Производная сложной и обратной функции
- •3.1.6. Логарифмическая производная
- •3.1.7. Производная неявной функции
- •3.1.8. Производные высших порядков
- •3.1.9. Применения производной в экономике
- •3.2.1. Понятие дифференцируемости функции в точке
- •3.2.2. Дифференциал функции и приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •3.2.3. Геометрический смысл дифференциала
- •3.2.4. Теоремы о среднем
- •3.3. Правила Лопиталя. Формула Тейлора
- •3.3.1. Правила Лопиталя
- •3.3.2. Формула Тейлора
- •3.4. Исследование функции с помощью производной
- •3.4.1. Условие постоянства функции.
- •3.4.2. Достаточное условие монотонности функции.
- •3.4.3. Необходимые и достаточные условия локального экстремума
- •3.4.4. Наибольшее и наименьшее значения функции
- •3.4.5. Выпуклые функции
- •3.4.6. Асимптоты графика функции
- •3.4.7. Общая схема исследования поведения функций и построения графиков функций
- •Глава 4. Теория интегрирования
- •4.1. Неопределенный интеграл
- •4.1.1. Первообразная
- •4.1.2. Неопределенный интеграл
- •4.1.3. Таблица интегралов
- •4.1.4. Простейшие методы интегрирования
- •Метод интегрирования подстановкой (замена переменной)
- •Метод интегрирования по частям
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •4.2. Интегрирование классов функций
- •4.2.1. Интегрирование рациональных функций
- •4.2.2. Интегрирование иррациональных функций
- •Простейшие случаи
- •Более сложные случаи
- •4.2.3. Тригонометрические интегралы
- •4.3. Определенный интеграл
- •4.3.1. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции
- •4.3.2. Свойства определенного интеграла
- •4.3.3. Оценки интегралов. Теорема о среднем значении.
- •4.3.4. Необходимое условие интегрируемости функции
- •4.3.5. Достаточные условия интегрируемости
- •4.3.6. Интеграл с переменным верхним пределом. Существование первообразной для непрерывной функции.
- •4.3.8. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •4.4.1. Площадь криволинейной трапеции.
- •4.4.2. Длина дуги кривой
- •4.4.3. Объем тела вращения
- •4.4.4. Использование понятия определенного интеграла в экономике
- •4.5. Несобственные интегралы.
- •4.5.1. Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования.
- •4.5.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
- •Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
- •5.1. Функция двух переменных. Дифференциал
- •5.1.1. Определения
- •5.1.2. Предел функции двух переменных
- •5.1.3. Непрерывность функции двух переменных
- •5.1.4. Частные производные
- •Геометрический смысл частных производных
- •5.1.5. Частные производные высших порядков
- •5.1.6. Дифференцируемость и дифференциал
- •5.1.7. Производная сложной функции
- •5.1.8. Производная по направлению. Градиент
- •5.1.9. Производственная функция Кобба — Дугласа
- •5.2. Экстремум функции двух переменных
- •5.2.1. Локальный экстремум
- •5.2.2. Глобальный экстремум
- •5.2.3. Условный экстремум
- •5.2.4. Метод множителей Лагранжа
- •5.2.5. Экстремум выпуклых функций
- •5.2.6. Функция полезности
- •Глава 6. Дифференциальные уравнения
- •6.1.1. Общее дифференциальное уравнение (ДУ) первого порядка.
- •6.1.2. Составление дифференциальных уравнений.
- •6.1.3. ДУ с разделяющимися переменными.
- •6.2. Дифференциальные уравнения первого порядка и их решение
- •6.2.1. Однородные ДУ первого порядка.
- •6.2.2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •6.2.3. Уравнение Бернулли.
- •Глава 7. Ряды
- •7.1. Числовые ряды
- •7.1.1. Понятие числового ряда.
- •7.1.2. Необходимое условие сходимости числового ряда.
- •7.1.3. Достаточные условия сходимости.
- •7.1.4. Абсолютная и условная сходимость.
- •7.2. Функциональные ряды. Область сходимости
- •7.3. Степенные ряды. Формула Тейлора
- •Глава 8. Линейная алгебра
- •8.1. Матрицы и определители
- •8.1.1. Понятие матрицы. Виды матриц
- •8.1.2. Операции над матрицами
- •8.1.3. Определители
- •8.1.4. Свойства определителей
- •8.1.5. Элементарные преобразования
- •8.1.6. Обратная матрица
- •8.1.7. Матричные уравнения
- •8.1.8. Ранг матрицы
- •8.2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •8.2.1. Основные понятия
- •8.2.2. Матричный метод
- •8.2.3. Метод Крамера
- •8.2.4. Метод Гаусса
- •8.2.5. Критерий Кронекера — Капелли
- •8.2.6. Экономическая модель Леонтьева
- •8.3. Векторная алгебра
- •8.3.1. Векторы в пространстве
- •8.3.2. Скалярное произведение векторов
- •8.3.4. Линейная зависимость векторов
- •8.3.5. Базис и ранг системы векторов
- •8.3.6. Ортогональные системы векторов
- •8.3.7. Фундаментальные системы решений
- •8.3.8. Собственные векторы и значения
- •Предметный указатель
- •Другие
- •Определения
- •Абсолютно сходящийся ряд
- •Абсолютно сходящийся функциональный ряд
- •Алгебраическое дополнение
- •Арифметические операции с последовательностями
- •Асимптоты гиперболы
- •Базисный минор
- •Бесконечно большая последовательность
- •Бесконечно большие функции
- •Бесконечно малая последовательность
- •Бесконечно малые функции
- •Бюджетное множество
- •Вектор валового выпуска
- •Вектор конечного продукта
- •Вектор предельных полезностей
- •Вектор-столбец и вектор-строка
- •Вертикальная асимптота
- •Вершина параболы
- •Вершины гиперболы
- •Вершины эллипса
- •Возрастающая и убывающая последовательности
- •Возрастающая и убывающая функции
- •Второй замечательный предел
- •Выпуклая вверх (выпуклая) функция
- •Выпуклая вниз (вогнутая) функция
- •Выпуклое множество
- •Выпуклые функции
- •Гаусса метод
- •Гипербола
- •Градиент
- •График функции двух переменных
- •График функции
- •Диагонали матрицы
- •Диагональная матрица
- •Директриса параболы
- •Дифференциал функции двух переменных
- •Дифференциал
- •Дифференциальное уравнение Бернулли
- •Дифференциальное уравнение первого порядка
- •Дифференциальное уравнение с разделенными переменными
- •Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
- •Дифференциальный бином
- •Дифференцирование
- •Дифференцируемая функция
- •Дифференцируемость функции двух переменных
- •Единичная матрица
- •Задача Коши
- •Знакочередующийся ряд
- •Изокванты
- •Интеграл с переменным верхним пределом
- •Интегральная кривая дифференциального уравнения
- •Интегральная кривая
- •Интегральная сумма
- •Интегрирование дифференциального уравнения
- •Интервал монотонности
- •Интервал сходимости
- •Касательная
- •Квадратная матрица
- •Классификация точек разрыва
- •Крамера метод и формулы
- •Кривые безразличия
- •Критическая точка
- •Левый предел
- •Линейное дифференциальное уравнение
- •Линии первого порядка
- •Линии уровня
- •Линия на плоскости
- •Логарифмическая производная
- •Локальные минимум и максимум функции двух переменных
- •Локальный максимум
- •Локальный минимум
- •Локальный экстремум функции двух переменных
- •Локальный экстремум
- •Матрица прямых затрат
- •Матрицы
- •Матричная форма системы линейных уравнений
- •Матричные уравнения
- •Матричный метод решения системы линейных уравнений
- •Минор матрицы
- •Минор элемента матрицы
- •Многочлен Тейлора
- •Многочлен от квадратной матрицы
- •Монотонная последовательность
- •Монотонная функция
- •Наклонная асимптота
- •Направление
- •Направляющие косинусы
- •Невырожденная и вырожденные матрицы
- •Неограниченная последовательность
- •Неограниченная функция
- •Неопределенный интеграл
- •Неправильная рациональная функция
- •Непрерывная в области функция
- •Непрерывная на отрезке функция
- •Непрерывность функции двух переменных по одной из переменных
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Непрерывность функции на языке приращений
- •Непрерывность функции
- •Непрерывность функций двух переменных на языке приращений
- •Непрерывные справа и слева функции
- •Несобственный интеграл второго рода
- •Несобственный интеграл первого рода
- •Неэлементарные функции
- •Неявная функция
- •Нормаль
- •Нулевая матрица
- •Нулевое решение однородной системы линейных уравнений
- •Область сходимости
- •Обратная матрица
- •Обратная функция
- •Общее решение дифференциального уравнения
- •Общее уравнение прямой
- •Общий интеграл
- •Ограниченная последовательность
- •Ограниченная функция
- •Одноресурсная производственная функция
- •Однородная функция
- •Однородное дифференциальное уравнение
- •Однородные и неоднородные системы линейных уравнений
- •Однородные функции
- •Односторонние пределы на бесконечности
- •Односторонние пределы
- •Окрестность точки на плоскости
- •Окрестность точки
- •Окружность
- •Определённая и неопределённая системы
- •Определенный интеграл
- •Определители второго порядка
- •Определители первого порядка
- •Определители третьего порядка
- •Определитель произвольного порядка
- •Оси гиперболы
- •Оси эллипса
- •Основная матрица системы
- •Основной прямоугольник гиперболы
- •Особое решение дифференциального уравнения
- •Остаток числового ряда
- •Остаточный член в форме Лагранжа
- •Ось параболы
- •Парабола
- •Параметр параболы
- •Первообразная
- •Первый замечательный предел
- •Перестановочные матрицы
- •Периодическая функция
- •Полное приращение функции
- •Полуоси гиперболы
- •Полуоси эллипса
- •Последовательность числовая
- •Постоянная последовательность
- •Постоянная функция
- •Правильная рациональная функция
- •Правый предел
- •Предел последовательности
- •Предел функции двух переменных на языке окрестностей
- •Предел функции двух переменных по Гейне
- •Предел функции двух переменных по Коши
- •Предел функции на бесконечности
- •Предел функции на языке окрестностей
- •Предел функции по Гейне
- •Предел функции по Коши
- •Предельная производительность труда
- •Предельная фондоотдача
- •Предельные полезности
- •Приращение аргумента и функции
- •Приращение функции по направлению
- •Присоединённая матрица
- •Произведение матриц
- •Произведение матрицы на число
- •Производная второго порядка
- •Производная по направлению
- •Производная
- •Производственная функция Кобба — Дугласа
- •Производственная функция
- •Простейшие рациональные дроби
- •Противоположная матрица
- •Равенство матриц
- •Равнобочная гипербола
- •Равномерно сходящийся функциональный ряд
- •Радиус сходимости
- •Разность матриц
- •Ранг матрицы
- •Расширенная матрица системы
- •Рациональные функции
- •Решение дифференциального уравнения
- •Решение системы уравнений
- •Ряд матрицы
- •Система линейных уравнений
- •Сложная функция
- •Смешанные производные
- •Совместные и несовместные системы уравнений
- •Согласованные матрицы
- •Соотношения баланса
- •Сопряженные гиперболы
- •Стационарная точка
- •Стационарные точки функции двух переменных
- •Степенной ряд
- •Степень квадратной матрицы
- •Строго возрастающая и строго убывающая последовательности
- •Строго возрастающие и строго убывающие функции
- •Строго монотонная последовательность
- •Строго монотонная функция
- •Ступенчатая матрица
- •Сумма матриц
- •Сходимость в точке
- •Сходящаяся и расходящаяся последовательности
- •Сходящийся несобственный интеграл
- •Сходящийся числовой ряд
- •Таблица эквивалентностей
- •Точка безубыточности
- •Точка перегиба
- •Точка разрыва функции двух переменных
- •Точка рыночного равновесия
- •Точка спроса
- •Точки локального условного максимума и минимума
- •Точки разрыва
- •Транспонированная матрица
- •Треугольная матрица
- •Угловой коэффициент прямой
- •Угол между прямыми
- •Угол наклона прямой
- •Уравнение линии
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Уравнение, записанное в дифференциалах
- •Уравнение, разрешенное относительно производной
- •Условно сходящийся ряд
- •Условный экстремум
- •Фокальные радиусы гиперболы
- •Фокальные радиусы эллипса
- •Фокальный радиус параболы
- •Фокус параболы
- •Фокусы гиперболы
- •Фокусы эллипса
- •Формула Маклорена
- •Формула Тейлора
- •Функции спроса и предложения
- •Функциональный ряд
- •Функция Лагранжа
- •Функция выручки
- •Функция двух переменных
- •Функция издержек
- •Функция полезности двух товаров
- •Функция полезности
- •Функция прибыли
- •Функция спроса на товары
- •Функция
- •Центр гиперболы
- •Центр эллипса
- •Частичная сумма ряда
- •Частное и общее решения системы уравнений
- •Частное приращение функции
- •Частное решение дифференциального уравнения
- •Частные производные второго порядка
- •Частные производные
- •Четные и нечетные функции
- •Числовая функция
- •Числовой ряд
- •Эквивалентные бесконечно малые функции
- •Эквивалентные матрицы
- •Эквивалентные системы уравнений
- •Эксцентриситет гиперболы
- •Эксцентриситет эллипса
- •Эластичность функции двух переменных
- •Эластичность
- •Элементарные преобразования
- •Элементарные функции
- •Элементы матрицы
- •Эллипс
- •Эпсилон-окрестность на плоскости
- •Доказательства теорем
- •Часть II. Задачи
- •Глава 1. Аналитическая геометрия
- •1.1. Прямая на плоскости
- •1.1.1. Общие задачи
- •1.1.2. Экономика
- •1.2. Кривые второго порядка
- •1.2.1. Общие задачи
- •Глава 2. Теория пределов
- •2.1. Последовательность. Предел числовой последовательности
- •2.2. Функциональная зависимость
- •2.2.1. Общие задачи
- •2.2.2. Экономика
- •2.3. Предел функции. Два замечательных предела
- •2.4. Непрерывные функции
- •Глава 3. Теория дифференцирования
- •3.1. Производная. Вывод таблицы
- •3.3. Правила Лопиталя. Формула Тейлора
- •3.4. Исследование функции с помощью производной
- •Глава 4. Теория интегрирования
- •4.2. Интегрирование классов функций
- •4.3. Определенный интеграл
- •Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
- •5.1. Функция двух переменных. Дифференциал
- •5.1.1. Общие задачи
- •5.1.2. Экономический профиль
- •5.2. Экстремум функции двух переменных
- •5.2.1. Общие задачи
- •5.2.2. Экономический профиль
- •Глава 6. Дифференциальные уравнения
- •6.2. Дифференциальные уравнения первого порядка и их решение
- •Глава 7. Ряды
- •7.1. Числовые ряды
- •7.2. Функциональные ряды. Область сходимости
- •7.3. Степенные ряды. Формула Тейлора
- •Решения и указания
- •Ответы к задачам
- •Часть III. Тесты
- •Глава 1. Аналитическая геометрия
- •1.1. Прямая на плоскости
- •1.2. Кривые второго порядка
- •Глава 2. Теория пределов
- •2.1. Последовательности
- •2.2. Предел, непрерывность точки разрыва функции одной переменной
- •Глава 3. Теория дифференцирования
- •3.1. Дифференцирование функций одной переменной
- •3.2. Исследование функции одной переменной
- •Глава 4. Теория интегрирования
- •4.1. Неопределённый интеграл
- •4.2. Определённый интеграл с приложениями
- •Глава 5. Функции двух переменных
- •Глава 6. Дифференциальные уравнения
- •6.1. Элементарные дифференциальные уравнения
- •6.2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Глава 7. Ряды
- •7.1. Числовые ряды
- •7.2. Функциональные и степенные ряды
- •Глава 8. Линейная алгебра
- •8.1. Матрицы, определители, обратная матрица, системы уравнений
- •8.2. Векторная алгебра
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню |
Назад Вперёд |
Глава 3
Теория дифференцирования
3.1.Производная. Вывод таблицы
3.2.Дифференцируемость функции. Основные теоремы дифференци- ального исчисления
3.3.Правила Лопиталя. Формула Тейлора
3.4.Исследование функции с помощью производной
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.1. Производная. Вывод таблицы
Меню |
Назад Вперёд |
3.1. Производная. Вывод таблицы
229.Найдите производные функций:
1)= 3 + 3 2 − 4;
2)= 2 4 − 23 3 − 4 + 5;
3) |
|
4 |
|
|
|
√ |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
1 |
|
|
; |
|
||||||
= |
|
|
|
− 5 + |
|
|
|
− |
|
3√3 |
|
|
|
||||||||||||
4 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
4) |
|
|
|
5 |
|
|
|
√3 |
|
|
|
1 |
|
|
10 |
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= 3 |
|
|
− 3 |
− |
|
|
|
+ |
√5 |
|
|||||||||||||||
|
|
2 3 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|||||||||||||||||||||||
5) |
= sin · ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6) |
= · arcctg ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
7) |
= √4 |
|
· ln ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
8) |
= 2 tg ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
9) |
= |
cos |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
10) |
= |
|
|
3 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
11) |
= |
2 + 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
12) |
= |
1 + |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
13) |
= |
ln |
|
|
+ ctg ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Решение] [Ответ] [Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
[Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.1. Производная. Вывод таблицы
Меню Назад Вперёд
14) |
= sin 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||
15) |
= arcsin 4 ; |
|
|
|
|
[Ответ] |
||||||||||||||||
16) |
= log3(2 − 5); |
[Ответ] |
||||||||||||||||||||
17) |
= tg(5 + 1); |
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||||||||||
18) |
= (3 − 8)7; |
|
|
|
|
[Ответ] |
||||||||||||||||
19) |
= ln √ |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
20) |
= sin2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||
21) |
= cos3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||
22) |
= arcsin |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
23) |
= ln 3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||
24) |
= |
|
1 |
|
arctg |
|
|
; |
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
25) |
= arctg ; |
|
|
|
|
[Ответ] |
||||||||||||||||
26) |
= |
|
1 |
|
ln |
− |
1 |
; |
|
|
|
[Ответ] |
||||||||||
|
2 |
+ |
1 |
|
|
|
||||||||||||||||
27) |
= ln( + √ |
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||||||||
|
2 |
+ 1); |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
= ln( + √ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
28) |
|
|
+ 1); |
[Ответ] |
||||||||||||||||||
29) |
= ln sin ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||
30) |
= ln cos ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
31) |
= |
√ |
|
1 − 2; |
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||||||
32) |
= |
|
|
|
1 + 5 cos ; |
[Ответ] |
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.1. Производная. Вывод таблицы
Меню |
Назад Вперёд |
33)= 12 (sin + cos );
34)= ln ln ;
35)= arcsin √ .
230. |
Найдите производные функций: |
||||||
1) |
= tg2 3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) = 3√4 2−5 +1; |
+ 1); |
||||||
2) |
= |
arcsin(5 |
|||||
4) |
= sin2 · 4 +1; |
||||||
5) |
= arccos3 |
( |
2 |
+ 1); |
|||
2 |
|||||||
6) = ln |
3 − 2 + 1 |
; |
|||||
|
|
2 + 4 |
|
|
|
||
7) |
= cos (2 3 ); |
|
|
|
4 +1
8)= ctg 3 ;
√
9)= 3 sin2 3 + cos2 3 ;
10)= √ 2 − 2 + 2 arcsin ; 2 2
11) |
= |
2 |
√ 2 |
+ 2 + |
2 |
ln ( + √ 2 + 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
12) |
= |
|
ln sin |
|
; |
|
|
|
|
ln cos |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
)
;
[Ответ] [Ответ] [Ответ]
[Решение] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ]
[Ответ]
[Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ]
[Ответ] [Ответ]
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.1. Производная. Вывод таблицы
Меню
13)= (2 + 3 2)4;
14)= tg + 13 tg3 + 14 tg4 ;
√
15) |
= |
|
5 cos(1 − 2); |
|
|
||||||||||||||||||||
16) |
= |
|
|
ctg 7 |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
( 2 + 1)3 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
17) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
4(1 + 3 cos )7 |
||||||||||||||||||||||||
18) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
4(1 + 3 cos )7 |
||||||||||||||||||||||||
19) |
= |
|
1 |
|
|
ln |
2 − + 1 |
; |
|
||||||||||||||||
3 |
2 + + 1 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
20) |
= √ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
+ 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
21) |
= 2arccos 3 + (1 − arcsin 3 )2; |
||||||||||||||||||||||||
22) |
= √3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ln7 ; |
|||||||||||||
3 + 2 − 1 |
|||||||||||||||||||||||||
23) |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
9 2 arccos 3 ; |
||||||||||||||||
24) |
= sin( |
|
|
|
+ 4 ); |
|
|
|
|
||||||||||||||||
25) |
= |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 + + 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
26) |
= sin3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
27) |
= ln ( |
|
|
|
|
|
|
|
); |
||||||||||||||||
|
|
11 + |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
+ + 1 |
||||||||||||||
28) |
= arctg |
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||
1 − |
|
|
|||||||||||||||||||||||
29) |
= √ |
|
; |
||||||||||||||||||||||
cos(4 + 4− ) |
Назад Вперёд
[Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ]
[Ответ]
[Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ]
[Ответ] [Ответ]
[Ответ] [Ответ]
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.1. Производная. Вывод таблицы
Меню
|
= 4√ |
|
|
|
; |
|
|
|
|||
30) |
2+2 +2 |
|
|
|
|||||||
|
arccos |
|
|
|
8 |
|
3 |
||||
31) |
= (5 3 |
|
|
|
− tg |
|
4) ; |
||||
32) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
= sin |
(√ + lg ) |
; |
|||||||||
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
33) |
= ln |
|
2 − 1 |
|
; |
|
|||||
|
( 2 + 1)3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
34) |
= tg6 5 + 7 |
2 |
; |
|
|||||||
3 −1 |
|
||||||||||
35) |
= ln5( − 2− ); |
|
|
|
Назад Вперёд
[Ответ] [Ответ] [Ответ]
[Ответ]
[Ответ] [Ответ]
231.Применяя логарифмическое дифференцирование, найдите производные следующих функций:
1) |
= |
(sin ) ; |
|
|
|
|
||||||||||
2) |
= |
(tg 2 ) 2 ; |
|
|
|
|
||||||||||
3) = ( 2 + 3 ) −2; |
|
|
|
|
||||||||||||
4) |
= 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5) |
= ( + 1)( + 2)2( + 3)3; |
|
||||||||||||||
6) = |
√5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||
|
( |
2 |
( − 3)3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ 1)( + 3) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
+√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7) |
= |
|
cos 2 4 (2 − 3)3 |
|
; |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
( |
|
1)2 ctg |
|
|
|
|
||||||
|
= |
2 2−3 · (1 − 5 )3 · √ |
|
|
|
|||||||||||
8) |
3 + 1 |
; |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
(6 + 5)10 · √3 2 + 2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
9) |
= (arcsin 5 )tg √ |
|
; |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
[Решение] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
[Ответ]
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.1. Производная. Вывод таблицы
Меню |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Назад Вперёд |
10) |
|
|
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|||
= (3 + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
11) |
= + + ; |
|
;) |
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||||||||
13) |
= (tg( |
7 )lg(3 +1) |
cos 6 ; |
|
|
|
[Ответ] |
||||||||||||
12) |
= |
ctg(4 − 1)3 |
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||||||
14) |
= (sin 5 )cos 5 + cos 5 ; |
|
[Ответ] |
||||||||||||||||
15) |
= |
+ |
+ ; |
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||||||||
16) |
= (ctg 5 ) 3−1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||||||||
17) |
= (sin(5 − 1))ctg ; |
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||||||||||||
18) |
= (6 − 9) 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||||
19) |
= (arcsin 8 )tg(3 −8); |
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||||||||||||
20) |
= (tg )sin(3 +7). |
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||||||||||
232. |
Найдите значение производной функции в указанной точке: |
||||||||||||||||||
1) |
= √5 4 − 3 5 + 4 2ln 4, ′(1)−?; |
|
[Решение] [Ответ] |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
, ′ ((10) |
|
|
||
2) |
= ln(sin 5 ) − 4 |
+ 5 |
−?; |
[Ответ] |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||
4) |
= |
√ · (4 − 5), ′(ln 2)−?; |
|
[Ответ] |
|||||||||||||||
3) |
= ln |
|
( − |
4)3 |
+ ( − |
4)3, ′(5)−?; |
[Ответ] |
||||||||||||
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5) |
= ( + 1) arctg −2 , ′(0)−?; |
|
[Ответ] |
||||||||||||||||
6) |
= ln 2 − tg , ′ |
( |
3 )−?; |
|
[Ответ] |
||||||||||||||
|
|
|
2 + tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
− ; |
|
[Ответ] |
|||
|
= arcsin |
− 1 |
|
′ |
(5) |
? |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.1. Производная. Вывод таблицы
Меню |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Назад Вперёд |
8) |
= (4 2 |
− 3 + 1)3, ′′(0)−?; |
|
[Ответ] |
|||||||
9) |
= sin(7 2 |
+ ), ′′(0)−?; |
|
[Ответ] |
|||||||
10) |
= 4 2−5 , ′′(0)−?; |
|
|
[Ответ] |
|||||||
11) |
|
|
|
|
1 |
, ′′(2)−?; |
|
|
[Ответ] |
||
= arcsin |
|
|
|
||||||||
|
4 )−?; |
|
|||||||||
12) |
= 8 − |
4 cos2 , ′′′ ( |
|
[Ответ] |
|||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
13) |
= cos( 2 + 3 ), ′′′(0)−?; |
|
[Ответ] |
||||||||
14) |
= sin(2 2 |
+ 5 ), ′′′(0)−?; |
|
[Ответ] |
|||||||
15) |
= 4 2− , ′′′(0)−?; |
|
|
[Ответ] |
|||||||
16) |
6 2 − − 2 + 18 − 8 = −12, ′ в точке (−2, 0)−?; |
[Ответ] |
|||||||||
17) |
|
= − , ′ в точке (0, 1)−?; |
|
[Ответ] |
|||||||
18) |
4 |
− + 4 = 1, ′′ в точке (0, 1)−?; |
|
[Ответ] |
|||||||
19) |
|
+ − = 0, ′′ в точке (1, 0)−?; |
|
[Ответ] |
|||||||
233. |
Найдите производные второго порядка от функций: |
|
|
||||||||
1) |
= 3 2 − + 5; |
|
[Решение] [Ответ] |
||||||||
2) |
= 2 ; |
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|||
3) |
= ctg ; |
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||
4) |
= √ |
|
; |
|
|
[Ответ] |
|||||
1 + 3 |
|
|
|||||||||
5) |
= arcsin 2 ; |
|
|
[Ответ] |
|||||||
6) |
= cos2 . |
|
|
|
|
[Ответ] |
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.1. Производная. Вывод таблицы
Меню Назад Вперёд
234. |
Найдите производные третьего порядка от функций: |
|||||
1) |
= 5 2 − 104 − 3; |
[Решение] [Ответ] |
||||
2) |
= sin ; |
[Ответ] |
||||
3) |
= 2 2 cos ; |
[Ответ] |
||||
4) |
= arctg |
|
; |
[Ответ] |
||
|
||||||
|
3 |
|
|
|||
5) |
= − ; |
[Ответ] |
||||
6) |
= ln . |
[Ответ] |
||||
235. |
Найдите производные -го порядка от функций: |
|
||||
1) |
= − ; |
[Решение] [Ответ] |
||||
2) |
= sin 2 ; |
[Ответ] |
||||
3) |
= cos |
|
; |
[Ответ] |
||
|
||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
4) |
= 4 − 3 3 + 2 − − 1; |
[Ответ] |
||||
5) |
= 23 −5; |
[Ответ] |
||||
6) |
= 2 ln . |
[Ответ] |
236.Применяя формулу Лейбница, найдите производные указанного порядка порядка от функций:
1) |
= sin , (100)−? |
[Решение] [Ответ] |
2) |
= 2 2 , (20)−? |
[Ответ] |
3) |
= 2 sin 2 , (50)−? |
[Ответ] |
4) |
= cos , (4)−? |
[Ответ] |
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.1. Производная. Вывод таблицы
Меню |
|
|
|
|
Назад Вперёд |
|
|
ln |
|
||
5) |
= |
|
, (5)−? |
[Ответ] |
|
|
|||||
|
|
2 |
|
||
6) |
= |
|
, (8)−? |
[Ответ] |
|
1 − |
237.Напишите уравнения касательной и нормали к кривой = ( ) в точке
= 0. Найдите угол наклона этой касательной к оси . Постройте грацик функции, искомую касательную и нормаль.
1) |
= ln , 0 = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Решение] [Ответ] |
||||||
2) |
= 2 − 2 , 0 = −1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||||||
3) |
= sin , 0 = |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4) |
= , 0 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||||||
5) |
= 3, 0 = 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||||||
6) |
= arctg , 0 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||||||
7) |
= 2 − 7 + 3, 0 = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||||||
8) |
4 |
, 0 = −1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9) |
= √ |
|
, 0 = 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||||
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
238. |
Выяснить, в каких точках |
кривой |
= 3 |
− |
5 2 |
+ 7 + 4 касательная |
|||||||||||
|
|
3 |
2 |
|
|||||||||||||
|
составляет с осью угол |
4 . |
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||||||||
239. |
Найти точки на кривой = |
3 |
− |
9 2 |
|
+ 20 − 7, в которых касательная |
|||||||||||
3 |
2 |
||||||||||||||||
|
составляет параллельна оси . |
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||||
240. |
Найти точку на кривой |
= −3 2 |
+ 4 + 7, касательная в которой |
||||||||||||||
|
перпендикулярна прямой − 20 + 5 = 0. |
|
|
[Ответ] |
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.1. Производная. Вывод таблицы
Меню Назад Вперёд
241. |
Найти точку на кривой = 3 2 − 4 + 6, касательная в которой парал- |
|
|
лельна прямой 8 − − 5 = 0. |
[Ответ] |
242. |
На кривой = 3 найти точки, в которых касательные параллельны |
|
|
биссектрисе I и III координатных углов. Сделать рисунок. |
[Ответ] |
243.Записать уравнения касательных и нормалей к кривой = 4 − 3 в точках ее пересечения с осью .
244.Составить уравнения касательных к графику функции = −+53 в точках его пересечения с прямой + 2 + 3 = 0. Сделать рисунок.
245. Определить угловой коэффициент касательной к кривой
2 − 2 + − 11 = 0 в точке (3; 2).
246.Найти точки на кривых, в которых касательные к графикам функций( ) = 3 − − 1 и ( ) = 3 2 − 4 + 1 параллельны.
247.Записать уравнения касательных к гиперболе = 4 в точках с абс-
циссами 1 = 1 и 2 = −4 и найти угол между этими касательными. Сделать рисунок.
248. Составить уравнение касательной к графику функции = |
√ |
|
|
2 − 5, |
|||
проходящей через точку (−1; −3). Сделать рисунок. |
|
|
|
249.Найти точку на кривой = ln , в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки (1; 0) и ( ; 1) этой кривой.
250.Найти угол наклона касательной к графику функции, проходящей через точку .
1)( ) = 12 2 + 2 − 0, 5, (1; 2);
2)( ) = 32 2 − 4 + 6, (2; 4).
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.1. Производная. Вывод таблицы
Меню |
Назад Вперёд |
251.Найти расстояние от вершины параболы = 2−4 +5 до касательной, проведенной в точке пересечения параболы с осью .
252.В какой точке параболы = 2 − 2 + 5 надо провести касательную, чтобы она была перпендикулярна биссектрисе первого координатного угла.
253.В уравнении параболы = 2 + + определить и , если парабола касается прямой = в точке 0 = 2.
254. |
Найти |
уравнение |
общей касательной |
к |
графикам |
функций |
|
( ) = 3 2 − 5 − 2 и ( ) = 2 2 − − 6. |
|
|
[Ответ] |
||
255. |
Найти |
угол между касательными |
к |
графику |
функции |
|
|
( ) = |
3 3 − 7 2 |
+ 3 + 5, проведенными в точках с абсциссами |
1 = 0 и 2 = 1.
256.Найти угол между двумя касательными, проведенными из точки (0; −1) к графику функции ( ) = 2.
257.Найти координаты центра окружности, описанной около треугольника, образованного осями координат и касатеьной к гиперболе = 7 в
|
точке (7; 1). |
[Ответ] |
258. |
Найти угол, под которым пересекаются кривые. Сделать рисунок. |
|
1) |
2 = 2 и 2 + 2 = 8; |
[Решение] [Ответ] |
2)2 = 2 и = 4 − 12 2;
3)= 0, 5 и = cos ;
4)= 1 и = √ ;
5)= 8 и 2 − 2 = 12.
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.1. Производная. Вывод таблицы
Меню |
Назад Вперёд |
259.Пусть функция = ( ) характеризует зависимость издержек производства от количества выпускаемой продукции. Определите средние и предельные издержки при объеме продукции = 0 ед.
1) |
( ) = 50 − 0, 05 3, 0 = 10; |
[Решение] [Ответ] |
||
|
2 + 2 |
|
||
2) |
( ) = |
|
, 0 = 4; |
[Ответ] |
2 + 4 |
||||
3) |
( ) = 2 +1, 0 = 1; |
[Ответ] |
||
4) |
( ) = ln( 3 + 3 + 1), 0 = 10. |
[Ответ] |
260.Зависимость между себестоимостью единицы продукции (тыс.руб.) и выпуском продукции (млн.руб.) выражается функцией = ( ). Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном
|
= 0 млн.руб. |
|
|
|
|
|
|||||
1) |
( ) = −0, 5 + 80, 0 = 60; |
|
[Решение] [Ответ] |
||||||||
2) |
( ) = sin 2 , |
0 = |
|
|
; |
|
[Ответ] |
||||
3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) |
( ) = 3 + + 1, |
0 = 2; |
|
[Ответ] |
|||||||
4) |
( ) = 4 ln , |
0 = 2. |
|
[Ответ] |
|||||||
261. |
Объем продукции , произведенный бригадой рабочих, может быть |
||||||||||
|
описан уравнением = ( ) (ед.), 1 6 |
|
6 8, где — рабочее вре- |
||||||||
|
мя в часах. Вычислите производительность труда, скорость и темп ее |
||||||||||
|
изменения через час после начала работы и за час до ее окончания. |
||||||||||
|
5 |
|
15 |
|
|
|
|
|
|||
1) |
( ) = − |
|
3 + |
|
2 + 100 + 50; |
|
[Решение] [Ответ] |
||||
6 |
2 |
|
|||||||||
2) |
( ) = ln(2 + 5); |
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||
3) |
( ) = − 3 + 7 2 + 100 + 25; |
|
[Ответ] |
||||||||
4) |
( ) = − + . |
|
|
|
|
[Ответ] |
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.1. Производная. Вывод таблицы
Меню |
Назад Вперёд |
262.Опытным путем установлены функции спроса = ( ) и предложения= ( ), где и — количество товара, покупаемого и предлагаемого на продажу соответственно, — цена товара. Найти: а) равновесную цену, т.е. цену, при которой спрос и предложение уравновешиваются; б) эластичность спроса и предложения для этой цены.
1) |
( ) = |
+ 8 |
, ( ) = + 0, 5; |
[Решение] [Ответ] |
|||
+ 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
2) |
( ) = |
4 |
, ( ) = 2 − 1; |
[Ответ] |
|||
|
|
||||||
+ 3 |
|||||||
3) |
( ) = |
12 |
, ( ) = log2( + 5); |
[Ответ] |
|||
|
|
||||||
+ 1 |
|||||||
4) |
|
|
, ( ) = ( − 1)2 + 1. |
[Ответ] |
|||
( ) = sin |
|
|
|||||
2 |
|
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.2. Дифференцируемость функции
Меню |
Назад Вперёд |
3.2.Дифференцируемость функции. Основные теоремы дифференциального исчисления
263.Найдите дифференциалы первого порядка следующих функций:
1) |
= arcsin 2 ; |
[Решение] [Ответ] |
||||||||||
2) |
= |
+ 1 |
; |
|
|
[Ответ] |
||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|||||
3) |
= √ |
|
|
; |
[Ответ] |
|||||||
arccos 2 |
||||||||||||
4) |
= 2 tg 3 ; |
[Ответ] |
||||||||||
5) |
= 2 ; |
[Ответ] |
||||||||||
6) |
= ln (2 2 − 3 + 1). |
[Ответ] |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
264. |
Используя дифференциал первого порядка, вычислите приближенно: |
|||||||||||
1) |
√ |
|
|
; |
|
[Решение] [Ответ] |
||||||
26 |
||||||||||||
2) |
√ |
|
|
|
; |
[Решение] [Ответ] |
||||||
1, 2 |
||||||||||||
3) |
log2 1, 9; |
[Решение] [Ответ] |
||||||||||
4) |
arctg 1, 01; |
[Ответ] |
||||||||||
5) |
5, 993; |
|
|
|
[Ответ] |
|||||||
6) |
arcctg 0, 99; |
[Ответ] |
||||||||||
7) |
√4 |
|
; |
[Ответ] |
||||||||
80 |
||||||||||||
8) |
√3 |
|
; |
[Ответ] |
||||||||
28 |
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.2. Дифференцируемость функции
Меню |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Назад Вперёд |
9) |
arctg |
51 |
; |
|
|
|
|
[Ответ] |
||||||||||
50 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10) |
arcsin |
3 |
|
; |
|
|
|
[Ответ] |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|||||
11) |
sin 29 ; |
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||||
12) |
(3, 01)4; |
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||||
13) |
lg |
51 |
; |
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
14) |
sin 31 ; |
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||||
15) |
√ |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|||
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
16) |
√3 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||||
126 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
17) |
√5 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
18) |
√4 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||
82 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
19) |
cos 91 ; |
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||||
20) |
tg 44 ; |
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||||
21) |
ln( + 1); |
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||||||
22) |
arctg 0, 98; |
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||||||
23) |
(3, 03)4; |
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||||
24) |
ln 0, 96. |
|
|
|
|
|
[Ответ] |
|||||||||||
265. |
Найти приближенные значения функций: |
|
||||||||||||||||
1) |
= 3 + 2 |
при = 2, 01; |
[Ответ] |
|||||||||||||||
2) |
= |
√ |
|
|
|
|
|
при = 2, 9; |
[Ответ] |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
+ 16 |
Часть II. Задачи
Глава 3. Теория дифференцирования 3.2. Дифференцируемость функции
Меню |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Назад Вперёд |
|
= |
√ |
|
|
|
|
= 3, 02 |
|
|
||
3) |
4 |
− |
при |
; |
[Ответ] |
||||||
|
√ |
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
+ |
|
|
|||||||
4) |
|
√ |
|
при = 1, 3. |
[Ответ] |
||||||
= |
2 − 5 + 12 |