Часть I. Теория |
|
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных |
|
5.1. Функция двух переменных. Дифференциал |
|
Меню 5.1.5. Частные производные высших порядков |
Назад Вперёд |
5.1.5. Частные производные высших порядков
Определение. Предположим, что функция = ( , ) имеет частные производные ′( , ) и ′( , ) в точке ( , ) и в некоторой ее окрестности. Если функции ′( , ) и ′( , ) сами могут быть продифференцированы, то их частные производные по переменным и называются частными производными второго порядка и обозначаются следующим образом:
′′ |
= ∂ 2 = ∂ (∂ ) |
, |
|
′′ |
= ∂ 2 = ∂ (∂ ) |
, |
||||||||
|
|
∂2 |
|
∂ ∂ |
|
|
|
|
∂2 |
|
∂ ∂ |
|
||
′′ |
= ∂ ∂ |
= ∂ (∂ ) |
, |
′′ |
= ∂ ∂ |
= ∂ (∂ ). |
||||||||
|
|
∂2 |
|
|
∂ ∂ |
|
|
|
|
∂2 |
|
|
∂ ∂ |
|
Пример 5.11. Найти частные производные второго порядка функции
= 4 + 4 2 3 + 10.
Решение. Сначала находим частные производные первого порядка:
|
|
|
|
′ |
= 4 3 |
+ 8 3, |
′ = 12 2 2. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Затем находим частные производные второго порядка: |
|
|
|
|
|
|||||||||
′′ |
= (12 2 2 |
′ =)24 2, |
|
′′ |
= (4 3 |
+ 8) 3 |
′ |
= 24 2. |
||||||
′′ |
= 4 3 |
+ 8 3 |
′ |
= 12 |
2 + 8 3, |
′′ |
= 12 |
2 |
2 |
′ |
= 24 2 , |
|||
|
( |
|
) |
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Частные производные третьего и более высокого порядка определяются и обозначаются аналогично. Например,
′′′ |
= ∂ ∂ ∂ |
= ∂ |
(∂ ∂ ) |
, |
2 |
5 = |
∂ 2∂ 5 |
= ∂ |
(∂ ∂ 5 ). |
|||||
|
|
∂3 |
|
∂ |
|
∂2 |
|
(7) |
|
∂7 |
|
∂ |
|
∂6 |
Часть I. Теория |
|
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных |
|
5.1. Функция двух переменных. Дифференциал |
|
Меню 5.1.5. Частные производные высших порядков |
Назад Вперёд |
Определение. Частные производные по разным переменным, например, ′′
и′′ , называются смешанными.
Впримере 5.11 оказалось, что смешанные производные равны, то есть
′′ = ′′ . Приводимая ниже теорема Шварца утверждает, что это не простое совпадение.
Теорема 5.1 (Шварца). Если частные производные порядка непрерывны, то смешанные производные того же порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.
Часть I. Теория |
|
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных |
|
5.1. Функция двух переменных. Дифференциал |
|
Меню 5.1.6. Дифференцируемость и дифференциал |
Назад Вперёд |
5.1.6. Дифференцируемость и дифференциал
Определение. Функция = ( , ), определенная в некоторой окрестности точки 0( 0, 0), называется дифференцируемой в точке 0, если ее полное приращение в этой точке
= ( 0 + , 0 + ) − ( 0, 0) |
|
|
|
|
представимо в виде |
|
|
|
|
= + + (Δ , )Δ + (Δ , |
)Δ , |
(5.1) |
||
где и — постоянные, не зависящие от |
и , (Δ , |
) и (Δ , |
) — |
|
бесконечно малые функции при → 0 и |
→ 0. |
|
|
|
Теорема 5.2 (необходимое условие дифференцируемости). Если функция
= ( , ) дифференцируема в точке 0( 0, 0), то есть ее полное приращение может быть записано в виде (5.1), то она непрерывна в этой точке
и имеет в ней частные производные
∂ |
( 0, 0) = , |
∂ |
( 0, 0) = . |
(5.2) |
|
∂ |
∂ |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
[Доказательство] |
Замечание 5.4. Приводимый ниже пример показывает, что теорему 5.2 нельзя обратить, то есть из непрерывности функции и существования всех ее частных производных, вообще говоря, не следует дифференцируемость.
Пример 5.12. В примере 5.8 мы установили, что функция
= |
|
2 |
при 2 + 2 ̸= 0, |
2 + 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в точке (0, 0) |
|
0 |
||
Часть I. Теория |
|
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных |
|
5.1. Функция двух переменных. Дифференциал |
|
Меню 5.1.6. Дифференцируемость и дифференциал |
Назад Вперёд |
непрерывна во всей плоскости R2. Во всех точках, кроме начала координат, функция имеет частные производные, будучи элементарной. В начале координат
|
|
|
|
|
(Δ )2 · 0 |
|
|
|
|
′ |
(0, 0) = lim |
|
= lim |
(Δ )2 + 02 |
|
= lim |
0 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
→0 |
|
→0 |
|
|
|
→0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Аналогично ′ (0, 0) = 0. Итак, функция непрерывна и имеет частные производные во всей плоскости R2.
Если функция дифференцируема в начале координат, то по формулам (5.1) и (5.2) ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде
|
|
|
= (Δ , |
)Δ + (Δ , |
)Δ , |
|
|||||||||
где (Δ , |
) и (Δ , |
) — бесконечно малые функции при |
→ 0 и |
||||||||||||
→ 0. Приняв |
= |
и подсчитав, что при этом |
|
||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
(Δ )2 |
− 0 = |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
||||
|
|
|
|
(Δ )2 + (Δ )2 |
2 |
|
|||||||||
получим соотношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
= (Δ , |
)Δ + (Δ , |
|
|
)Δ . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
После сокращения на |
приходим к равенству |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
(Δ , |
) + (Δ , |
) = |
1 |
, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||
противоречащему тому факту, что и — бесконечно малые. Таким образом, функция не дифференцируема в начале координат.
Часть I. Теория |
|
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных |
|
5.1. Функция двух переменных. Дифференциал |
|
Меню 5.1.6. Дифференцируемость и дифференциал |
Назад Вперёд |
Теорема 5.3 (достаточное условие дифференцируемости). Если функция
= ( , ) имеет частные производные в некоторой окрестности точки0( 0, 0), непрерывные в точке 0, то эта функция дифференцируема в
точке 0.
Определение. Дифференциалом дифференцируемой функции = ( , ) называется главная линейная относительно и часть полного приращения (5.1):
|
= |
+ |
. |
|
||||
Из соотношений (5.2) следует, что |
|
|
||||||
|
= |
∂ |
|
+ |
∂ |
. |
(5.3) |
|
|
|
|
|
|||||
|
∂ |
∂ |
|
|
||||
Полагая в формуле (5.3), ( , ) = , получим: |
|
|||||||
|
= = 1 · |
+ 0 · |
= . |
|
||||
Таким образом, = |
. Аналогично = |
. Эти рассуждения позволяют |
||||||
переписать дифференциал (5.3) в виде: |
|
|
||||||
|
= |
∂ |
+ |
∂ |
. |
(5.4) |
||
|
|
|
||||||
|
|
∂ |
∂ |
|
|
|||
Форма записи дифференциала (5.4) наиболее распространена. Пример 5.13. Найти дифференциал функции = 3 .
Решение. Находим сначала частные производные первого порядка:
∂ |
= 2 2 , |
∂ |
= 2 2. |
|
∂ |
∂ |
|||
|
|
По формуле (5.4) искомый дифференциал
= 2 2 + 2 2 = 2 (2 + 2 ).