Часть I. Теория

Глава 4. Теория интегрирования 4.3. Определенный интеграл

Меню	Назад Вперёд

4.3. Определенный интеграл

4.3.1.Задача о вычислении площади криволинейной трапеции

4.3.2.Свойства определенного интеграла

4.3.3.Оценки интегралов. Теорема о среднем значении.

4.3.4.Необходимое условие интегрируемости функции

4.3.5.Достаточные условия интегрируемости

4.3.6.Интеграл с переменным верхним пределом. Существование первообразной для непрерывной функции.

4.3.7.Формула Ньютона—Лейбница.

4.3.8.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

Часть I. Теория
Глава 4. Теория интегрирования
4.3. Определенный интеграл
Меню 4.3.1. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции	Назад Вперёд

4.3.1.Задача о вычислении площади криволинейной трапеции

Пусть на отрезке [ ; ] задана непрерывная неотрицательная функция= ( ) (рисунок 4.2). Рассмотрим фигуру , ограниченную графиком функции = ( ), прямыми = , = и осью . Ее называют криволинейной трапецией. Поставим задачу об определении и вычислении площади этой криволинейной трапеции. С этой целью отрезок [ ; ] разобьем на произвольных частей точками:

= 0 < 1 < 2 < . . . < −1 < < . . . < = .

Через точки , = 0, 1, . . . , проведем прямые, параллельные оси . Криволинейная трапеция разобьется на частичных криволинейных

трапеций. Теперь на каждом из отрезков [ 0; 1], [ 1; 2], . . . , [ −1; ] произвольно выберем по точке , [ −1; ], = 1, 2, . . . , , вычислим значение ( ), = 1, 2, . . . , . И каждую частичную криволинейную трапецию

заменим прямоугольниками с высотами ( 1), ( 2), . . . , ( ). Тогда можно полагать, что для площади криволинейной трапеции справедливо

соотношение

∑

≈ ( )( − −1).

=1

Естественно предположить, что это равенство будет тем точнее, чем

меньше max ( − −1) = . Поэтому площадь криволинейной трапеции

16 6

определяют как

0	∑	(4.16)
	( )( − −1).
lim
→	=1

Число , равное пределу (4.16), называют определенным интегралом

	Часть I. Теория
	Глава 4. Теория интегрирования
	4.3. Определенный интеграл
Меню	4.3.1. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции								Назад	Вперёд
	y								C
	f (ξk )					y = f (x)
		D
		A							B
	O	a	x1	x2	xk−1	xk	xn−1	b	x
					Рисунок 4.2

от функции по отрезку [ ; ] и обозначают ∫ ( ) . Таким образом, за-

дача о вычислении площади криволинейной трапеции приводит к введению понятия определенного интеграла.

Теперь более строго определим понятие определенного интеграла. Пусть функция определена на отрезке [ ; ]. Разобьем этот отрезок

на частей точками , = 0, 1, . . . , :

=	0	< <	2	< . . .	<	< < . . .	<		= .
		1			−1

Введем следующие обозначения:

= − −1,	= 1, 2, . . . , ,	=	max	.
			16 6

В каждом из частичных отрезков [ −1; ] произвольно выберем по точке , [ −1; ], = 1, 2, . . . , . Рассмотрим следующую сумму:

	∑	(4.17)
=	( )Δ .
	=1

Определение. Сумма (4.17) называется интегральной суммой для функциина отрезке [ ; ].

Часть I. Теория
Глава 4. Теория интегрирования
4.3. Определенный интеграл
Меню 4.3.1. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции	Назад Вперёд

Определение. Если интегральная сумма (4.17) имеет предел, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [ ; ], ни от выбора точек , то этот предел называется определенным интегралом от функции ( ) на отрезке [ ; ] и обозначается

∫

( ) . (4.18)

В этом случае функция ( ) называется интегрируемой на отрезке [ ; ], а числа и — нижним и верхним пределами интегрирования.

Геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции (рисунок 4.3).

y

y = f (x)

O	a	b	x
		Рисунок 4.3

Из определенния интеграла следует, что значение интеграла (4.18) есть число, зависящее от вида функции , пределов интегрирования и и не зависящее от выбора обозначения переменной интегрирования.

Позже мы установим связи между определенным и неопределенным интегралом функции .

∫

Пример 4.19. Найти определенный интеграл 1 .

Часть I. Теория
Глава 4. Теория интегрирования
4.3. Определенный интеграл
Меню 4.3.1. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции	Назад Вперёд

Решение. Поcтроим для функции ( ) = 1 на отрезке [ ; ] интегральную сумму

	∑	∑
=	( )Δ =	.
	=1	=1

Учитывая, что = − −1, имеем:

= ( 1 − 0) + ( 2 − 1) + ( 3 − 2) + . . . + ( −1 − −2) + ( − −1) =

=− .

∫

Слeдовательно, 1 = lim = − .

→0