Часть I. Теория
Глава 4. Теория интегрирования
4.4. Приложения интеграла. Несобственные интегралы
Меню 4.4.1. Площадь криволинейной трапеции.	Назад Вперёд

4.4.1. Площадь криволинейной трапеции.

∫

В разделе 4.3 уже отмечалось, что определенный интеграл ( ) от

неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции = ( ), прямыми = , = и= 0.

Пример 4.24. Вычислить площадь фигуры, заключенной между осью и синусоидой = sin , [0; ] (рисунок 4.6).

Решение.

=	∫	sin = − cos 0		= −(cos − cos 0) = 2.
	0

Если фигура не является криволинейной трапецией, то ее площадь стараются представить в виде суммы или разности площадей фигур, являющихся криволинейными трапециями. В частности, справедлива теорема.

Теорема 4.13. Если фигура ограничена снизу и сверху графиками непрерывных функций = 1( ), = 2( ) (не обязательно неотрицательных, (рисунок 4.7), то ее площадь можно найти по формуле

∫ ∫

= 2( ) − 1( ) .

Пример 4.25. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой = 4 и прямыми = и = 4.

Часть I. Теория
Глава 4. Теория интегрирования
4.4. Приложения интеграла. Несобственные интегралы
Меню 4.4.1. Площадь криволинейной трапеции.	Назад Вперёд

									y	y = f2(x)
	y
	1			y = sin x
										y = f1(x)
										a
	O				π			x	O	b	x
			Рисунок 4.6							Рисунок 4.7
Решение. Построим				фигуру		на		плоскости		(рисунок 4.8). Очевидно,
1( ) = 4 , 2( ) = ,
= ∫					2 − 4 ln			2 = 8 − 4 ln 4 − (2 − 4 ln 2) = 2(3 − 2 ln 2).
	−		=
4	(	4	)	(	2		)
2								4

Часть I. Теория

Глава 4. Теория интегрирования 4.4. Приложения интеграла. Несобственные интегралы

Меню 4.4.1. Площадь криволинейной трапеции.

Назад Вперёд

y
4
		=	x
	y
					x = 4
2
		xy = 4
O	2			4	x
	Рисунок 4.8

Часть I. Теория
Глава 4. Теория интегрирования
4.4. Приложения интеграла. Несобственные интегралы
Меню 4.4.2. Длина дуги кривой	Назад Вперёд

4.4.2. Длина дуги кривой

Вычисление длин кривых также приводит к интегралам. Пусть функция= ( ) непрерывна на отрезке [ ; ] и дифференцируема на интервале ( ; ). Ее график представляет некоторую кривую , ( ; ( )), ( ; ( )) (рисунок 4.9). Кривую разобьем точками 0 = , 1, 2, . . . , = напроизвольных частей. Соединим две соседние точки −1 и хордами,= 1, 2, . . . , . Получим -звенную ломаную, вписанную в кривую . Пусть

есть длина хорды −1 , = 1, 2, . . . , , = max16 6 . Длина ломаной будет выражаться формулой

=	∑
	.
	=1

Естественно определить длину кривой как предельное значение длин ломаных , когда → 0, т.е.

		= lim = lim					∑	(4.31)
							.
				→0	→0		=1
Пусть есть абсциссы точек , = 1, 2, . . . , ,
=	0	< <	2	< . . . <	−1	< < . . . < = .
		1

Тогда координаты точек есть ( ; ( )), и, пользуясь формулой для расстояния между двумя точками, найдем

√

=

( − −1)2 + ( ( ) − ( −1))2 .

(4.32)

По формуле конечных приращений имеем:

( ) − ( −1) = ′( )( − −1),

( −1; ).

Часть I. Теория
Глава 4. Теория интегрирования
4.4. Приложения интеграла. Несобственные интегралы
Меню 4.4.2. Длина дуги кривой	Назад Вперёд

y
			Cn−1
C0	C	Ck 1Ck	Cn
	2	−
	C1

O a x1 x2	xk−1 xk	xn−1 b x
	Рисунок 4.9

Подставляя полученное выражение в (4.32), найдем:

√

= 1 + ( ′( ))2 , = − −1,

и

= ∑√1 + ( ′( ))2	.

=1

Следовательно, есть интегральная сумма для функции √1 + ( ′( ))2 на отрезке [ ; ]. Тогда на основании равенств (4.31) имеем:

= ∫							(4.33)
		1 + ( ′( ))2				.
	√		√
Пример 4.26. Найти длину графика = 2						между = 0 и = 3.
				3
	3

Решение. Построим график указанной функции (рисунок 4.10).

Часть I. Теория
Глава 4. Теория интегрирования
4.4. Приложения интеграла. Несобственные интегралы
Меню 4.4.2. Длина дуги кривой	Назад Вперёд

y
		b
	y = 2	√x3
	3
	b
O		3 x

Рисунок 4.10

По формуле (4.33) находим:
= ∫3	√				= ∫3 √					= ∫3 √						=
							1 + ( 21 )2
		1 + ( ′( ))2
													1 +
0		=	∫	0		( + 1) =				0
				( + 1)2				3( + 1)2 0 = 3(8 − 1) = 3 .
			3					2				3		2			14
			0	1						3