Часть I. Теория
Глава 3. Теория дифференцирования
3.2. Дифференцируемость функции
3.2.2. Дифференциал функции и приближенные вычисления с помо-
Меню щью дифференциала	Назад Вперёд

3.2.2.Дифференциал функции и приближенные вычисления с помощью дифференциала

Пусть функция = ( ) дифференцируема в точке . Тогда приращение функции в этой точке может быть записано по формуле (3.14) в виде

где →0

= ·

+ (Δ ) ·

,

(Δ ) = 0.

Второе слагаемое

(Δ )

·

является БМФ более

lim

высокого порядка по сравнению с функцией ·

(при условии, что ̸= 0),

т.к.

(Δ )Δ

(Δ )

lim

= lim

= 0.

→0

→0

Поэтому первое слагаемое ·

является главной частью приращения

,

причем это слагаемое есть линейная относительно

функция.

Определение. Главная линейная относительно

часть приращения функ-

ции

= + (Δ )Δ

вточке называется дифференциалом функции = ( ) в этой точке.

Для обозначения дифференциала используется символ

= ·

.

Если = 0, то · не является, вообще говоря, главной частью приращения . В этом случае по определению полагают = 0.

Учитывая теорему 3.5, а именно, что = ′( ), можно записать

= ′( )	·	.	(3.15)

Часть I. Теория

Глава 3. Теория дифференцирования 3.2. Дифференцируемость функции

3.2.2. Дифференциал функции и приближенные вычисления с помо-

Меню щью дифференциала			Назад Вперёд
Теперь найдем дифференциал функции ( ) = . Применяя форму-
лу (3.15), имеем
= ( )′ ·		= .
Поэтому определяют дифференциал независимой переменной следу-
ющим образом: полагают =	. Тогда формулу (3.15) можно записать
в виде
= ′( ) .			(3.16)

Заметим, что именно последнее равенство объясняет обозначение производной или ( ) .

Обратимся снова к формуле (3.15). На основании вышеизложенного

можно записать, что ≈ или
( +		) − ( ) ≈ ′( )Δ .				(3.17)
Формула (3.17) часто используется в приближенных вычислениях.
Пример 3.10. Найти приближенное значение 0,2.
Решение. Воспользуемся формулой			(3.17). Очевидно,			в данном случае
( ) = . Положим = 0,	= 0,2.
Будем иметь:	+Δ − ≈ ( )′
или			0,2 ≈ 1 + 0,2 = 1,2.
0,2 − 0 = 0 · 0,2,
Итак, 0,2 ≈ 1,2. Более того, при малых					и	= 0 мы получим
формулу		≈ 1 +
				.

При применении формулы (3.17) важно правильно выбрать точку и

.

Часть I. Теория
Глава 3. Теория дифференцирования
3.2. Дифференцируемость функции
Меню 3.2.3. Геометрический смысл дифференциала	Назад Вперёд

3.2.3. Геометрический смысл дифференциала

Проведем к графику функции = ( ) касательную в точке( , ) (см. рисунок 3.2).

y

y + y		P	b
			B	T
	M	α	b dy
y	b		b N
O	x	x +	x	x

				Рисунок 3.2
	Очевидно, =	, =			. Из прямоугольного треугольника
	находим
	tg =				= tg · .
	Согласно геометрическому смыслу производной, tg = ′( ). Значит,
			= ′( )			.

·

Теперь сравим последнюю формулу с формулой (3.16). Получим

= .

Часть I. Теория
Глава 3. Теория дифференцирования
3.2. Дифференцируемость функции
Меню 3.2.3. Геометрический смысл дифференциала	Назад Вперёд

Геометрический смысл дифференциала функции состоит в том, что дифференциал функции = ( ) в точке равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда получит приращение

.