Часть I. Теория |
|
Глава 6. Дифференциальные уравнения |
|
6.2. Дифференциальные уравнения первого порядка и их решение |
|
Меню 6.2.2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. |
Назад Вперёд |
6.2.2.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Определение. Уравнения, которые можно записать в виде
′ + ( ) = ( )
или
+ ( ) = ( ),
называются линейными, первое — относительно , , а второе — относительно , .
Если ( ) ≡ 0 ( ( ) ≡ 0), то уравнение называется линейным однородным, если ( ) ̸= 0 ( ( ) ̸= 0), — линейным неоднородным.
Линейное однородное уравнение — это уравнение с разделяющимися переменными.
Решим, например, линейное однородное уравнение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ + ( ) = 0. |
|
(6.9) |
||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
+ ( ) = 0 |
|
|
+ ( ) = 0 ∫ |
|
+ ∫ |
( ) = 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
= − ∫ |
ln | | + |
∫ |
( ) = ln | | = − ∫ ( ) = |
(6.10) |
||||||
где |
|
( ) , ̸= 0. Так как = 0 — также решение уравнения (6.9), то |
|||||||||||
|
|||||||||||||
формула (6.10) будет давать все решения (в данном случае общее решение) уравнения (6.9), если считать параметр произвольным.
Часть I. Теория |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Глава 6. Дифференциальные уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
6.2. Дифференциальные уравнения первого порядка и их решение |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Меню 6.2.2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. |
Назад Вперёд |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решим линейное неоднородное уравнение |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
′ + ( ) = ( ). |
|
|
|
|
(6.11) |
||||||||||||||||||||||
Решение ищем в виде, подобном решению однородного уравнения |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= ( ) |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.12) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
где ( ) — неизвестная функция. Подставляя (6.12) в (6.11), имеем |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
′( ) |
|
+ ( ) |
|
′ + ( ) ( ) |
|
|
= ( ) |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( )[ |
|
′+ ( ) |
|
]=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = ∫ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
′( ) = ( ) |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
( ) |
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Подставляя найденное ( ) в (6.12), получаем |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= + ∫ |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Последняя формула называется формулой Бернулли. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Пример 6.9. Решить уравнение ′ + cos = − sin . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Решение. Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
= − ∫ cos = − sin , |
′( ) − sin |
= − sin ′( ) = 1, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
т.е. ( ) = + . Общее решение:
= ( + ) − sin .
Часть I. Теория |
|
Глава 6. Дифференциальные уравнения |
|
6.2. Дифференциальные уравнения первого порядка и их решение |
|
Меню 6.2.2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. |
Назад Вперёд |
) |
|
|
(0) |
P (t) для P (0) |
> P |
(0) |
P (t) для P (0) |
> P |
|
|
t |
|
Рисунок 6.4 |
|
Пример 6.10. Решить уравнение (6.6):
+ ( + ) = ( + ).
Решение. Имеем: |
] − ( + ) + |
+ = [ (0) − ] − + , |
|||||
( ) = |
[ (0) − + |
||||||
|
|
+ |
+ |
|
|
|
|
где = ( + ), = ++ .
Геометрически решение изобразим на рисунке 6.4.
Часть I. Теория |
|
Глава 6. Дифференциальные уравнения |
|
6.2. Дифференциальные уравнения первого порядка и их решение |
|
Меню 6.2.3. Уравнение Бернулли. |
Назад Вперёд |
6.2.3. Уравнение Бернулли.
Определение. Уравнением Бернулли называют нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка
′ + ( ) = ( ) , |
(6.13) |
где ( ̸= 0, ̸= 1) — произвольное вещественное число.
Подстановка = 1− приводит уравнение (6.13) к линейному неоднородному уравнению. Уравнение (6.13) можно решать также подстановкой( ) = ( ) ( ). Тогда, записав уравнение (6.13) в виде
′ + ( ′ + ( ) ) = ( ) ,
решим два уравнения с разделяющимися переменными:
′ + ( ) = 0 (берем только одно решение ̸= 0) и′ = ( ) −1 (берем его общее решение).
Подставляя их в соотношение ( ) = ( ) ( ), получим общее решение уравнения Бернулли.
Пример 6.11. Решить уравнение ′ + = 2 ln .
Решение. Это уравнение Бернулли. Полагаем = . Тогда уравнение запишется так:
′ + ( ′ + ) = 2 2 ln .
Из
′ + = 0
имеем = 1 , а из
′ = 2 ln
Часть I. Теория
Глава 6. Дифференциальные уравнения 6.2. Дифференциальные уравнения первого порядка и их решение
Меню 6.2.3. Уравнение Бернулли. |
|
|
|
|
|
Назад Вперёд |
|||
или |
|
|
ln |
|
|
|
|||
|
= |
|
|||||||
|
2 |
|
2 |
||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|||
= |
|
|
|
|
|
. |
|
||
|
|
|
|||||||
1 + + ln |
|||||||||
Таким образом, общее решение |
|
|
|
|
|||||
= = |
|
|
|
1 |
|
. |
|||
|
|
||||||||
|
1 + + ln |
||||||||
Часть I. Теория
Глава 6. Дифференциальные уравнения 6.3. Линейные уравнения второго порядка
Меню |
Назад Вперёд |
6.3.Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами