Часть I. Теория
Глава 6. Дифференциальные уравнения
Меню |
Назад Вперёд |
Глава 6
Дифференциальные уравнения
6.1.Дифференциальные уравнения первого порядка. Общие понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
6.2.Дифференциальные уравнения первого порядка и их решение
6.3.Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффици- ентами
Часть I. Теория
Глава 6. Дифференциальные уравнения 6.1. Дифференциальные уравнения первого порядка
Меню |
Назад Вперёд |
6.1.Дифференциальные уравнения первого порядка. Общие понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
6.1.1.Общее дифференциальное уравнение (ДУ) первого порядка.
6.1.2.Составление дифференциальных уравнений.
6.1.3.ДУ с разделяющимися переменными.
Часть I. Теория |
|
Глава 6. Дифференциальные уравнения |
|
6.1. Дифференциальные уравнения первого порядка |
|
Меню 6.1.1. Общее дифференциальное уравнение (ДУ) первого порядка. |
Назад Вперёд |
6.1.1.Общее дифференциальное уравнение (ДУ) первого порядка.
Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
( , , ′) = 0
где — аргумент, ( ) — искомая функция; — заданная функция трех переменных , , ′; — заданная функция двух переменных , .
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка
′ = ( , ), |
(6.1) |
называется разрешенным относительно ′.
Определение. Уравнение
( , ) + ( , ) = 0,
где и имеют тот же смысл, что и выше; , — дифференциалы; ( , ) и ( , ) — заданные функции, называется уравнением, записанным в диф-
ференциалах.
Здесь можно принять за аргумент, ( ) — за функцию;, = ′( ) ( ) — соответственно за дифференциалы.
Определение. Решением ДУ называется такая дифференцируемая функция= ( ), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество, например, ( , ( ), ′( )) ≡ 0 или ′( ) ≡ ( , ( )).
Определение. Процесс нахождения всех решений ДУ называется интегрированием ДУ.
Часть I. Теория |
|
Глава 6. Дифференциальные уравнения |
|
6.1. Дифференциальные уравнения первого порядка |
|
Меню 6.1.1. Общее дифференциальное уравнение (ДУ) первого порядка. |
Назад Вперёд |
Для дифференциальных уравнений важное значение имеет вопрос о существовании решения задачи Коши и единственность этого решения.
Теорема 6.1 (Коши). Если правая часть уравнения (6.1) непрерывна и имеет непрерывную производную в области , то решение ДУ (6.1) с начальным условием (6.2), где ( 0; 0) , существует и единственно, т.е. через точку ( 0; 0) проходит единственная интегральная кривая данного уравнения.
Определение. Если во всех точках решения = ( ) уравнения (6.1) условие единственности не выполняется, то такое решение называется особым.
Через каждую точку 0( 0; 0) особого решения, кроме этого решения, проходит и другое решение уравнения (6.1), которое не совпадает с = ( ) в сколь угодно малой окрестности этой точки.
Особым решением является огибающая семейства интегральных кривых (если она существует), т.е. линия, которая в каждой своей точке касается хотя бы одной интегральной кривой.
Для существования особого решения уравнения (6.1) необходимо, чтобы не выполнялись условия теоремы Коши.
Пример 6.2. Исследовать решение уравнения = 3 2/3.
Решение. Правая часть этого уравнения ( , ) = 3 2/3 определена и непре-
рывна во всех точках плоскости |
|
. Частная производная |
|
= |
32 |
обраща- |
|
|
|
|
√ |
|
|||
ется в бесконечность при = 0, т.е. на оси , так что при = 0 нарушается одно из условий теоремы Коши.
Следовательно, в точках оси возможно нарушение единственности. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что функция = ( + )3 (семейство кубических парабол) есть решение уравнения. Кроме того, данное уравнение имеет очевидное решение ≡ 0 (рисунок 6.2).
Таким образом, через каждую точку оси проходит, по крайней мере, две интегральные кривые, и, следовательно, в точках этой оси нарушается eдинственность, т.е. = 0 — особое решение исходного уравнения. 
Часть I. Теория |
|
Глава 6. Дифференциальные уравнения |
|
6.1. Дифференциальные уравнения первого порядка |
|
Меню 6.1.1. Общее дифференциальное уравнение (ДУ) первого порядка. |
Назад Вперёд |
|
|
y |
|
|
|
C |
C1 |
C2 |
C3 |
|
B |
B2 |
|
B1 |
|
|
O |
|
x |
A |
A1 |
A2 |
A3 |
|
|
|
Рисунок 6.2 |
|
|
Определение. Общим решением ДУ (6.1) называется функция
= ( , ) |
(6.3) |
зависящая от одной произвольной постоянной , и такая, что выполняются условия:
1)она удовлетворяет уравнению (6.1) при любых допустимых значениях постоянной ;
2)каково бы ни было начальное условие (6.2), можно подобрать значение
0 постоянной , что решение = ( , 0) будет удовлетворять заданному начальному условию (6.2).
При этом предполагается, что точка ( 0; 0) принадлежит области , где выполняются условия существования и единственности решения задачи Коши (6.1), (6.2).
Определение. Частным решением ДУ (6.1) называется решение, получаемое из общего решения (6.3) при каком-либо определенном значении произвольной постоянной .
Часть I. Теория |
|
Глава 6. Дифференциальные уравнения |
|
6.1. Дифференциальные уравнения первого порядка |
|
Меню 6.1.1. Общее дифференциальное уравнение (ДУ) первого порядка. |
Назад Вперёд |
Пример 6.3. Проверить, что функция = — общее решение уравнения′ − = 0, и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию
(1) = −1.
Решение. Имеем = и ′ = . Подставляя в данное уравнение выражения и ′, получаем − ≡ 0, т.е. функция = удовлетворяет данному уравнению при любых значениях постоянной .
Зададим любое начальное условие ( 0) = 0. Подставляя в функцию= , будем иметь 0 = 0 , откуда = 0 − 0 . Функция = 0 − 0 удовлетворяет данному начальному условию. Поэтому функция = — общее решение данного уравнения.
y |
|
1 |
C > 0 |
O |
C < 0 x |
M0 |
|
Рисунок 6.3 |
|
При 0 = 1 и 0 = −1 получим частное решение = − −1.
С геометрической точки зрения общее решение определяет семейство интегральных кривых, которыми являются графики показательных функций; частное решение есть интегральная кривая, проходящая через точку0(1; −1) (рисунок 6.3). 
Часть I. Теория |
|
Глава 6. Дифференциальные уравнения |
|
6.1. Дифференциальные уравнения первого порядка |
|
Меню 6.1.1. Общее дифференциальное уравнение (ДУ) первого порядка. |
Назад Вперёд |
Иногда общее решение ДУ в виде (6.3) найти нелегко. В связи с этим введем следующее определение.
Определение. Соотношение вида Φ( , , ) = 0, неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом ДУ первого порядка; соотношение, получаемое из общего интеграла при конкретном значении постоянной
, называется частным интегралом ДУ.