Часть I. Теория
Глава 2. Предел последовательности и функции
2.4. Непрерывные функции
Меню 2.4.2. Теоремы о непрерывных в точке функциях	Назад Вперёд

2.4.2. Теоремы о непрерывных в точке функциях

Рассмотрим для начала алгебраические свойства непрерывных в точке функций.

Теорема 2.14. Пусть функции ( ) и ( ) непрерывны в точке = . Тогда

функции	( ) · ( ),	( ) ( ( ) ̸= 0)
( ) ± ( ),
		( )
также непрерывны в точке .			[Доказательство]

Теорема 2.15 (о непрерывности сложной функции). Пусть функция = ( )

непрерывна в точке 0, а функция = ( ) непрерывна в точке 0, где0 = ( 0). Тогда сложная функция ( ( )) непрерывна в точке 0.

Другими словами, суперпозиция непрерывных функций есть функция непрерывная. [Доказательство]

Теорема 2.16 (о непрерывности обратной функции). Пусть функция

: → непрерывна в точке 0 . Тогда, если для функции существует обратная функция −1 : → , то она непрерывна в точке 0 = ( 0).

Часть I. Теория
Глава 2. Предел последовательности и функции
2.4. Непрерывные функции
Меню 2.4.3. Точки разрыва и их классификация	Назад Вперёд

2.4.3. Точки разрыва и их классификация

Определение. Точками разрыва функции называются те точки, в которых функция не является непрерывной.

В зависимости от своей «величины» разрывы допускают следующую классификацию.

Определение. Точка разрыва функции ( ) называется

1)точкой разрыва первого рода, если в ней существуют конечные левосторонний и правосторонний пределы функции ( ), причём, если они

а) равны, то есть

lim ( ) = lim ( ),

→ −0 → +0

то называется точкой устранимого разрыва, б) различны, то есть

lim ( ) ̸= lim ( ),

→ −0 → +0

то называется точкой конечного разрыва, а модуль разности левостороннего и правостороннего предела

	lim ( )	lim	( )
		− → +0
= → −0

—скачком функции ( ) в точке ;

2)точкой разрыва второго рода в противном случае, то есть если в ней не существует либо равен бесконечности хотя бы один из односторонних пределов.

Часть I. Теория

Глава 2. Предел последовательности и функции 2.4. Непрерывные функции

Меню 2.4.3. Точки разрыва и их классификация

Назад Вперёд

Вточках устранимого разрыва в силу равенства односторонних пределов существует двухсторонний предел, доопределив функцию значением которого, можно сделать её непрерывной, то есть «устранить» разрыв.

Вкачестве примера рассмотрим функцию ( ) = sin . Её график, называемый мексиканской шляпой, изображён на рисунке 2.50. Функция ( ) не задана и, следовательно, терпит разрыв в нуле. По формуле (2.5) предел

( ) в нуле равен единице, поэтому точка = 0 является точкой устранимого разрыва. В самом деле, доопределив ( ) в нуле по непрерывности, то

есть положив		sin	,
				̸= 0,
( ) =
	1,			= 0,
мы ликвидируем разрыв.
		y
			1
				y =	sin x
					x
		O	π	2π	x
Рисунок 2.50

Функция = sign (смотрите рисунок 2.6) в точке = 0 имеет конечный разрыв, так как левый и правый пределы здесь существуют и равны −1 и 1. Скачек = | − 1 − 1| = 2. Конечный разрыв в точке = 2 терпит также функция = [ ] (смотрите рисунок 2.48). Ее скачек = |1 − 2| = 1.

Функция = 1 (смотрите рисунок 2.16) в точке = 0 имеет разрыв второго рода, так как односторонние пределы в данном случае бесконечны. По той же причине точки = 2 + , где Z, являются точками разрыва второго рода для функции = tg (смотрите рисунок 2.24). Функция

Часть I. Теория
Глава 2. Предел последовательности и функции
2.4. Непрерывные функции
Меню 2.4.3. Точки разрыва и их классификация	Назад Вперёд

= sin (смотрите рисунок 2.41) в точке = 0 терпит разрыв второго рода, поскольку ее односторонние пределы в этой точке не существуют.

Замечание 2.4. Проходя точку разрыва при вычерчивании графика, нам приходится отрывать карандаш от бумаги.