Часть I. Теория
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
5.1. Функция двух переменных. Дифференциал
Меню 5.1.9. Производственная функция Кобба — Дугласа	Назад Вперёд

5.1.9. Производственная функция Кобба — Дугласа

Как мы уже знаем, производственная функциия (ПФ) выражает зависимость объема производства от величины затраченных ресурсов.

Определение. Производственная функция одной переменной называется одноресурсной.

В ряде случаев ПФ может быть сведена к зависимости производительности труда , то есть выпуска продукта в расчете на одного работника, от капиталовооруженности труда , то есть величины капитала в расчете на одного работника. Капиталовооруженность может быть найдена по формуле= / , где — величина капитала, — затраты труда.

Возникновение теории производственных функций относится к 1928 году. Тогда появилась статья двух американских ученых Д. Кобба и П. Дугласа, в которой впервые была введена функция, ныне известная как произ-

водственная функция Кобба — Дугласа.

Определение. Функция

( , ) = 1− ,

> 0, 0 < < 1,

выражающая зависимость объема выпускаемой продукции от объема основных фондов и затрат труда , называется производственной функцией

Кобба — Дугласа.

График производственной функциии Кобба — Дугласа в трехмерном пространстве есть коническая поверхность (рисунок 5.9).

Для функции Кобба — Дугласа линии уровня, соответствующие константе > 0, задаются уравнением 1− = или

= ( )		−		− 1− .
		1
		1

	Часть I. Теория
	Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
	5.1. Функция двух переменных. Дифференциал
Меню	5.1.9. Производственная функция Кобба — Дугласа			Назад	Вперёд
	F		L	C1 < C2 < C3
				C3
				C2
			C1
	K	L	O	K
	Рисунок 5.9			Рисунок 5.10

Линии уровня производственной функциии ( , ) для различных значенийизображены на рисунке 5.10. Точки ( , ), лежащие на одной линии уровня, соответствуют различным наборам затрат, обеспечивающим один и тот же выпуск продукции.

Определение. Линии уровня производственной функции называются изоквантами.

Отметим, что изокванта, соответствующая значению 3, расположена «северо-восточнее» изокванты, соответствующей значению 2 (рисунок 5.10).

Выясним, какую экономическую интерпретацию можно дать частным производным ПФ. Отношение

( 0 + , 0) − ( 0, 0)

показывает, какой дополнительный выпуск приходится на одну единицу изменения основных фондов 0 при постоянных затратах труда 0. Если су-

Часть I. Теория
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
5.1. Функция двух переменных. Дифференциал
Меню 5.1.9. Производственная функция Кобба — Дугласа						Назад Вперёд
ществует конечный предел указанного выше отношения при						→ 0, то это
есть частная производная функции ( , ) по переменной :
	∂	( 0, 0) =	lim	( 0 +	, 0) − ( 0, 0)	.
	∂		→0

Определение. Частная производная ∂ /∂ производственной функции называется предельной фондоотдачей.

Определение. Частную производную ∂ /∂ производственной функции называют предельной производительностью труда.

Для производственной функции Кобба — Дугласа предельные фондоотдача и производительность труда соответственно равны

∂	= ∂		( 1− ) =	( )		,
∂		∂				1−
∂	= ∂		( 1− ) = (1 − ) ( ) .
∂		∂

Определение. Эластичностью функции = ( , ) в точке ( 0, 0) по переменным и называются соответственно пределы

( 0, 0) = lim

,

( 0, 0) = lim

.

→0

→0

Из определения эластичности следует, что

( 0, 0) =		·		∂		( 0, 0) =		·	∂
					,					.
			∂						∂

Часть I. Теория
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
5.1. Функция двух переменных. Дифференциал
Меню 5.1.9. Производственная функция Кобба — Дугласа	Назад Вперёд

Замечание 5.10. Эластичность приближенно показывает на сколько процентов изменится выпуск, если затраты какого-либо одного ресурса увеличатся на 1 % при неизменных объёмах другого ресурса.

Для производственной функции Кобба — Дугласа ( , )

	( 0, 0) ∂							0 0−					( 0 )
														1−
( 0, 0) =	0		∂		( 0, 0) =				0					0	= ,
									1
( 0, 0) =	0		∂		( 0, 0) =
	( 0, 0) ∂									−
	0 0−				−	( 0 )
=	0	(1				)	0		= 1			.
	1

Сформулируем экономический смысл параметра функции Кобба — Дугласа. Эластичность выпуска по основным фондам равна . Значит, относительное изменение основных фондов на 1 % вызывает изменение выпуска приблизительно на %.