Часть I. Теория
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
5.1. Функция двух переменных. Дифференциал
Меню 5.1.2. Предел функции двух переменных	Назад Вперёд

5.1.2. Предел функции двух переменных

Определение. Число называется пределом функции в точке 0, если для любой последовательности точек плоскости { } N, сходящейся к точке0 и такой, что ̸= 0, соответствующая последовательность значений функции { ( )} N сходится к числу .

Тот факт, что число является пределом функции двух переменных( , ) в точке 0( 0, 0), можно записать одним из следующих способов:

lim ( , ) = ,				lim		( , ) = ,					lim ( , ) = .
	→ 0		( , )	→	( 0, 0)						0
	→	0									→
Замечание 5.1. Если			для некоторых				двух последовательностей точек
{ ′ } N	и { ′′} N, сходящихся к 0, пределы соответствующих после-
довательностей { ( ′ )} N и { ( ′′)} N имеют разные значения или хоть
один из них не существует, то в точке 0								функция предела не имеет.
Пример 5.6. Существует ли предел lim										?
							2	+	2
						→0

→0

Решение. Рассмотрим последовательность точек ′ (1/ , 0), стремящуюся к началу координат по положительной части оси . Для этой последовательности

		( , 0)				1
→∞	( ′ ) = →∞						+ 0		→∞
				→∞ 12
lim	lim	1		= lim			· 0	=	lim 0 = 0.

Возьмем теперь последовательность ′′(1/ , 1/ ), стремящуюся к на-

Часть I. Теория
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
5.1. Функция двух переменных. Дифференциал
Меню 5.1.2. Предел функции двух переменных	Назад Вперёд

чалу координат по направлению биссектрисы первого координатного угла. Тогда

				(	)				1				1
→∞	′′		→∞					→∞				+					= →∞ 2		2
									12					12
lim	(	) =	lim	1	,	1		= lim				·					lim	1	=	1	.

Таким образом, двум разным последовательностям точек, стремящимся к началу координат по разным путям, соответствуют две последовательности значений функции, имеющие разные пределы. Следовательно, данный предел не существует.

Определение. Окрестностью точки 0 на плоскости называется любой открытый круг, содержащий эту точку.

Определение. Внутренность круга с центром в точке 0 и радиусом , то есть множество

( 0, ) =	{( , )		( − 0)2 + ( − 0)2	< 2}

называется -окрестностью точки 0 (рисунок 5.4).

y			y			z
	ε			δ	b	A + ε
y0	b	M0	y0	bC	M
				M0		A
						f (M)
O	x0	x	O	x0	x	A − ε
	Рисунок 5.4				Рисунок 5.5

Часть I. Теория
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
5.1. Функция двух переменных. Дифференциал
Меню 5.1.2. Предел функции двух переменных	Назад Вперёд

Как и для функций одной переменной, можно доказать, что данное нами определение предела функции на языке последовательностей эквивалентно приводимому ниже определению на языке - .

Определение. Число называется пределом функции ( , ) в точке0( 0; 0), если для любого числа > 0, сколь малым оно бы ни было, существует такое положительное число , зависящее от , что для всех точек ( , ), удовлетворяющих условию

0 < ( − 0)2 + ( − 0)2 < 2,

выполняется неравенство | ( , ) − | < .

Другими словами, число называется пределом функции ( , ) в точке 0( 0; 0), если

> 0 > 0: ( , ), 0 < ( − 0)2 + ( − 0)2 < 2, | ( , ) − | < .

«Переведем» это определение на «язык окрестностей».

Определение. Число называется пределом функции ( , ) в точке0( 0; 0), если для любой -окрестности точки найдется такая - окрестность точки 0, что для всех точке ̸= 0 из этой -окрестности соответствующие значения функции ( ) лежат в -окрестности точки .

Это определение выражает геометрический смысл предела функции двух переменных (рисунок 5.5).

Все положения теории пределов функции одной переменной можно перенести на функцию нескольких переменных.

Свойства предела функции двух переменных

1. Если функция ( , ) имеет в точке 0 предел, то существует окрестность этой точки, в которой функция ограничена.

Часть I. Теория
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
5.1. Функция двух переменных. Дифференциал
Меню 5.1.2. Предел функции двух переменных	Назад Вперёд

2.

Если

lim ( , ) = ,

lim

( , ) = , то

→ 0

→ 0

1)

lim

( ( , ) ± ( , )) = ± ,

→ 0

2)

lim

( ( , ) · ( , )) = · ,

→ 0

3)

lim

( , )

=

= 0

0

( , )

при условии, что

̸

.

→

Пример 5.7. Существует ли предел lim

2

?

2 +

2

→0

→0

| | 6

2

+ 2

Решение. Так как

, то

2

2

2

| |

2 + 2

lim

= lim

| |

= 0.

lim

= lim

6

2

2

2

2

2

2

2

0

+

0

+

0

+

0

2

→0

→0

→0

→0

→

→

→

→

Отсюда следует, что искомый предел существует и равен нулю.