9O Объединение континуального дизъюнктного семейства множеств мощности c есть множество мощности c . Доказательство

Пусть А = u _е1А, I = c, тогда I~R

.

Пусть f (i ) = a e R. Функция f : a ® А - есть биекция. Поскольку A ~R, то А эквивалентно прямой y = a на плоскости. В силу принципа склеивания

А = u А ~ u { y = a } = R². Значит, А = R² = c.

ieI aeR

Свойство доказано.

10^o Множество всех последовательностей вида (a_n )_neN, где a_n принимают независимо друг от друга два данных значения (например, 0 и 1), имеет мощность c .

11^o Если А = { a_xi, _Хг } , где x_k независимо от других

принимают два фиксированных значения, то А = c. Примем эти два свойства без доказательства.

Следующие два свойства настолько важны и интересны, что мы их подадим в виде теорем.

Теорема 2

Множество C[ 0;1] непрерывных вещественных функций, заданных на [0;1] имеет мощность континуума. Доказательство

C [ 0;1] имеет подмножества, эквивалентные R.

Например, { x + b}, b е R. Так что C[0;1] > c. Покажем, что

Ш < c.

Рассмотрим множество R°° всех вещественных последовательностей. R°° = c по 8°. Множество Q[ 0;1], как мы ранее уже указывали, счетно. Расположим его элементы в виде последовательности (r_n )_neN.

Каждой функции f е C [ 0;1] поставим в соответствие последовательность ( f (r_n ))_neN. Это множество

последовательностей есть подмножество множества R^¥ = c. Указанное соответствие взаимно однозначно: если бы

( ^f ( ^rn ) ) ne N = ( g ( ^rn ))neN д^{ля f,} g ^{e C} [ ⁰;¹ ] ^{, f Ф} g^{, то в сил}у

непрерывности f и g, и представления вещественных чисел как пределов последовательностей рациональных чисел было бы f (x) = g( x)"xe [0;1], т. е. f = g.

Итак, C [ 0;1] эквивалентно множеству указанных последовательностей, части множества R°° мощности c. Значит,

ЩЦ £ c.

Окончательно C[0;1] = c. Теорема доказана.

Теорема 3. 2^a = c. Доказательство

Пусть B = b(N), P = {(a_n)_neN} таких, что a_n = 0 v a_n = 1.

По свойству 10°. P = c. B = 2^a.

Возьмем произвольно N* с N. Поставим ему в

Г1, ne N*,

соответствие последовательность (a_n )_neN, так, a_n = \ -

[0, neN *.

Мы получаем биекцию B на P . Значит, B = c . Теорема доказана.

В заключение рассмотрения континуальных множеств запишем законы континуальной арифметики: c > a,2^a = c, c + ... + c = c, ca = c, cc = c.

Конечно же, континуальной мощностью бесконечные мощности не исчерпываются.

§ 7. Функциональная мощность

Теорема 1

Мощность F [ 0;1] множества всех вещественных функций, заданных на [ 0;1 ], имеет мощность, большую, чем мощность континуума. Доказательство

Поскольку C [ 0;1]cz F [ 0;1], то F > c. Покажем, что F [ 0;1] неэквивалентно [ 0;1]. Допустим противное. Каждому tе [0;1] взаимно однозначно соответствует f_t(x). Введем еще одну функцию: F(t, x) = f_t(x) . Она задана на [0;1]х[0;1]. В частности, при t = x, F (x; x) есть функция x. И еще одна функция: g(x) = F(x; x) + 1. gе F, значит g(x)= f_a (x). Другими словами, g (x ) = F (a; x). Значит, при всех x е [ 0;1] F (x; x) +1 = F{ a; x). Но при x = a, а это вполне допустимо, F(X; x) +1 = F(X; x), что невозможно.

Значит, F [ 0;1] [ 0;1] и F[0,1] > c. Теорема доказана.

F[0,1] обозначается f и называется функциональной мощностью. Получаем f > c. Также f называется гиперконтинуум.

Теорема 2

2^c = f.

Примем этот результат к сведению. Он показывает интересный факт: непрерывные функции составляют «ничтожно малую» часть в множестве всех функций. Понятие функции очень общее и далеко не все поддается наглядным представлениям.

Что же дальше? Наибольшей мощности нет, можно двигаться беспредельно. Какие глубокие законы вселенной

отражает этот результат, нам не известно. Далее мы займемся более специальными множествами - упорядоченными, и это дает возможность с новой стороны взглянуть на мощности - кардинальные числа. В частности, прояснится такой момент: почему мы рассмотрели только алеф-нуль IC_o и есть ли другие алефы.