- •Теория функций действительной переменной
- •Теория функций действительной переменной
- •П 2. Разделы тфвп
- •1. Литература для математиков-теоретиков научного направления. Содержит больше материала, чем наша программа предусматривает:
- •2. Литература для математиков-теоретиков педагогического направления. Содержит практически весь нужный материал и другие вопросы:
- •3. Сборники задач:
- •Раздел 1. Дескриптивная теория функций.
- •Глава 1. Элементы общей теории множеств.
- •§ 1. Множества, подмножества
- •§ 2. Действия над множествами
- •III. Разность множеств
- •IV. Дополнение к множеству
- •§ 3. Мощность множества
- •§ 4. Сравнение мощностей
- •§ 5. Счетные множества
- •1) Из каждого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество, причем так, что останется бесконечное множество. Доказательство
- •4) Объединение конечного числа счетных множеств счетно. Доказательство
- •5) Объединение счетного дизъюнктного семейства конечных множеств счетно. Доказательство
- •§ 6. Мощность континуума
- •8O Если элементы множества определяются конечным или счетным количеством индексов, каждый из которых независимо от других принимает c значений, то это множество имеет мощность c. Следствие
- •9O Объединение континуального дизъюнктного семейства множеств мощности c есть множество мощности c . Доказательство
- •§ 7. Функциональная мощность
- •§ 8. Упорядоченные множества
- •§ 9. Вполне упорядоченные множества Определение
- •§ 10. Трансфинитные числа
- •§ 11. Континуум - гипотеза
- •Глава 2. Множества в пространстве Rn
- •§1. Метрические пространства
- •§2. Специальные точки множеств
- •§3. Открытые множества
- •40. Ш (x0, r) есть открытое множество.
- •§4. Замкнутые множества
- •0 С f с Rn. Vx0 е g. Точка X не может быть точкой
- •0 С g с Rn . Пусть x0 - любая точка прикосновения f,
- •30 . Пересечение произвольного непустого и объединение конечного семейств замкнутых множеств замкнуты.
- •1. Существует бесконечное множество номеров /
- •X е (X j y)' имеем (X j y)' с X' j y. /
- •§5. Структура откры1ты1х и замкнутыых множеств на прямой
- •§6. Множества на плоскости, в пространстве и в Rn
- •Глава 3. Функции вещественных переменных
- •§1. Непрерывность функций
- •§2. Непрерывные функции на замкнутых множествах
- •§3. Точки разрыва
- •2. Если не существует хотя бы одного из односторонних пределов, то это точка разрыва 2-го рода.
- •§4. Последовательности функций
- •§5. Классификация Бэра
- •§6. Функции ограниченной вариации
- •20. Функция класса Липшица (r. Lipschitz) есть фов. ► "(t),
- •60. Разность фов есть фов. Аналогично 50.
- •70. Произведение фов есть фов.
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость.
- •Раздел 2. Метрическая теория функций
- •Глава 1. Измеримые множества § 1. Движения в пространстве Rn
- •§ 2. Проблемы построения меры
- •§ 3. Мера Жордана
- •2. Канторово множество f0.
- •4°. Конечная аддитивность меры Жордана. Если
- •§ 4. Построение меры Лебега
- •§ 5. Мера открытых множеств
- •§ 6. Мера замкнутых множеств
- •§ 7. Внутренняя и внешняя меры
- •§ 8. Измеримость множеств
- •§ 9. Класс измеримых множеств
- •§ 10. Сходимость почти всюду
- •§ 11. Мера Лебега в пространстве Rn
- •§ 12. Связь мер Жордана и Лебега
- •§ 13. Мера абстрактных множеств
- •5. Найти меру Лебега множества
- •§ 1. Измеримость функции
- •60. Если f измеримы на X, то измеримыми будут такие
- •§ 2. Последовательности измеримых функций Теорема 1
- •§ 3. Структура измеримых функций
- •2. F( X) не ограничена. По теореме 1 построим
- •Глава 3. Интеграл
- •§ 1. Интеграл Римана
- •1. Необходимость
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость
- •§ 2. Интеграл Стилтьеса
- •§ 3. Интеграл Лебега
- •§ 4. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •§ 6. Обобщенный интеграл Лебега от функций произвольных знаков
- •10. Суммируемая функция почти всюду конечна.
- •20. На множестве меры нуль суммируема любая функция и интеграл равен нулю.
- •3 Lim Sr(t) - c(b- a) - (r)Jcdx.
- •5. Вычислить (l)j f (X)dx, f (X)
- •8. Суммируема ли на (-1,8), f (X) - dx
- •(0,1)Глава 4. Пространства суммируемых функций
- •§ 1. Линейные пространства
- •§ 2. Нормированные линейные пространства
- •III. Пространства последовательностей 1. Ограниченных последовательностей, m или .
- •§ 3. Эвклидовы и унитарные пространства
- •X становится линейным нормированным пространством. Примеры
- •§ 4. Гильбертовы пространства
- •§ 5. Пространство суммируемых функций l (х)
- •If (X )e l ( х), le r, то l ( х) есть вещественное линейное
- •§ 6. Пространство функций с суммируемым квадратом
- •§ 7. Пространства функций, суммируемых с данной
- •X X у Имеем требуемое неравенство. Теорема доказана.
- •§ 8. Пространства последовательностей 1 p
- •§ 9. Пространства l2( X) и 12
- •1 В пространство
- •Теория функций действительной переменной конспект лекций
- •4 Достаточность
X е (X j y)' имеем (X j y)' с X' j y. /
В итоге ( X j Y) = X' j Y ◄.
100. (X) = X
► (X) = X j X' = (X j X') j (X j X)' = X j X' j X' j X". Поскольку X' замкнуто, то X' с X'. Тогда X = X J X' = X ◄. 110. X j Y = X j Y.
0
► X j Y = (X j Y) j (X j Y)' = X j Y j X' j Y = = (X j Y') j (Yj Y) = X j Y ◄.
Далее мы установим структуру открытых и замкнутых множеств на прямой, на плоскости, в пространстве и в Rn.
Еще несколько понятий и фактов, относящихся к замкнутым множествам, предельным точкам и точкам прикосновения. Если X з Y, то X называется плотным в Y. Если X = Y, то X называется всюду плотным в Y. Например, Q всюду плотно в R, т. к. каждое вещественное число есть предел последовательности рациональных чисел.
Если X с X (нет изолированных точек), то X называется плотным в себе. Если X = X', то X называется совершенным. Можно доказать, что каждое непустое совершенное множество имеет мощность континуума.
Точка x0 называется точкой конденсации X, если в V V(x0)
есть несчетное множество точек из X .
Если множество не имеет точек конденсации, то оно не более чем счетно (теорема Линделёфа). Также несчетное замкнутое множество имеет мощность континуума. У каждого несчетного множества множество точек конденсации совершенно. Каждое несчетное замкнутое множество является объединением совершенного и не более чем счетного множеств.
§5. Структура откры1ты1х и замкнутыых множеств на прямой
Установим строение открытых и замкнутых множеств на R. Теорема 1
Если замкнутое множество F непусто и ограничено сверху (снизу), то оно имеет наибольший (наименьший) элемент.
► Пусть F ограничено сверху. Тогда 3x0 = sup F < +¥.
^ "n e NBxn e F: x0 - — < xn < x0. Тогда при n ® ¥ ^ xn ® x0
n .
x0 - предельная точка F, F замкнуто ^ x0 e F, x0 - наибольший элемент F. Для ограниченных снизу множеств аналогично ◄.
Следствие
Если непустое замкнутое ограниченное множество дано, то существует наименьший сегмент [a, b], содержащий F. Пусть теперь G Ф 0 открыто.
Определение
Если (a, b) с G,ae G, b e G, то (a, b) называется составляющим интервалом множества G . Замечание
Составляющий интервал может быть и неограниченным. Теорема 2
Любые два составляющих интервала не имеют общих точек.
Пусть (a,f) и (g, d) - составляющие интервалы множества G . Если a= g, то автоматически b= d, иначе один из концов составляющих интервалов вошел бы в G .
Пусть а < g. Покажем, что f£g. Допустим противное: f>g. Получаем: а<у<р^ уе (a,f) ^ уе G, что невозможно ◄.
Теорема 3
Каждая точка G Ф 0 входит в некоторый составляющий интервал.
Рассмотрим возможные случаи.
G = R ^ Vx0 е (-¥;+¥).
Слева и справа от x0 есть точки, не входящие в G . Тогда они принадлежат замкнутому множеству F = cG . Обозначим F = FП [x0; +<»). F1 замкнуто и ограничено
снизу точкой x0 .
По теореме 1 Fl имеет min элемент fb > x0, т. к. x0 е Fx. Отсюда [x0;f) с G.
Аналогично Зае G: (a, x0 ]с G. Значит, x0 е (a,f) и а,ре G^ (a,f) - составляющий интервал G.
Если справа от x0 нет точек не из G, а слева есть то x0 е (а;+¥) - составляющий интервал G .
Аналогично, если слева от x0 нет точек не из G, а справа есть, то x0 е (-¥ f) ◄.
Теорема 4
Семейство составляющих интервалов непустого открытого множества не более чем счетно.
В каждом составляющем интервале (a;f) выберем по одной рациональной точке. Получим взаимнооднозначно
е
соответствие {(a ,Д )}iej составляющих интервалов (оно взаимно-однозначно, т. к. соответствующие интервалы попарно не пересекаются) и некоторым подмножеством Q* с Q, а оно не более чем счетно ◄.
Теорема 5
Каждое непустое открытое множество на прямой есть не более чем счетное объединение дизъюнктного семейства составляющих интервалов.
► Дизъюнктность и не более чем счетность {(о\ ,Д. )}iej уже
1.
ieJ
. («,А )с G^iej ^ U (a ,b ) = a с g.
ieJ
Vx0 e G входит в некоторый (ai ,Д.) ^ G с A.
Тогда G = A ◄. Теорема 6
Каждое открытое непустое множество есть объединение счетного семейства отрезков.
► В
силу теоремы 4 достаточно показать для
(a;
b),
(-¥;
a),
(a,
.
Действительно, ( a, b) = u
n=no
11
a+-;b— nn
1 b - a
при — < .
n
3
1
(
a,
+¥)
= U
a
)
= U
n=1
n=1
1
a - n; a —
n
(-¥; +to)= u [-n;n] ◄.
n=1
Следствие
G #0 есть множества типа Fs. Перейдем к замкнутым множествам
.Используя результат о дополнении открытых и замкнутых множеств, сразу же устанавливаем структуру замкнутых множеств на прямой.
Теорема 7
Каждое не пустое замкнутое множество на прямой есть либо вся прямая, либо получается из прямой удалением не более чем счетного дизъюнктного семейства интервалов. В частности, непустое замкнутое ограниченное множество есть либо сегмент, либо получается из сегмента удалением указанного семейства. Следующим будет такой факт.
Теорема 8
Каждое непустое замкнутое множество есть пересечение счетного семейства открытых множеств, т. е. множество типа
Gs.
► Действительно, F = R \ G и используя законы де Моргана. Таким образом, c ( Fs) = Gd, c ( Gd ) = Fs. Открытые и
замкнутые множества есть одновременно множества и типа Gd,
и типа Fs ◄.
0;1
Представим
[0;1] =
j
j
31
.
Удалим среднюю
1 2 _ з;з
часть, а крайние снова разделим на 3 части и каждую среднюю часть удалим. Продолжим процесс.
G0=[М]jjj....G=c. Хоть и стPанно, но
F0 =[0,1] \ G0 также континуально. F0 совершенно, G0 открыто, F0 замкнуто.