§ 6. Мощность континуума

Существование несчетных множеств очевидно. Например, булеан счетного множества имеет мощность 2^a > a. Рассмотрим еще одно несчетное множество.

Теорема 1

Сегмент (отрезок) [0;1] есть несчетное множество. Доказательство

Допустим противное. Тогда [0;1] = {xj, x₂,..., x_n,...}. Разделим

У

1 2 з^;з

. Число x не может

[0;1] на три отрезка

принадлежать сразу всем трем отрезкам. Есть промежуток, не содержащий x₁. Обозначим этот отрезок А₁. Делим А₁ на три равные части и обозначаем А₂ ту из них, что не содержит x₂, и т. д.

Получаем последовательность вложенных отрезков:

^А0 3^А1 3 ... 3 ^An...

Длина А_п равна ® 0 при n ® ¥ По принципу Кантора

П Ап = {Х0}.

n=

0

x₀ e D₀ = [0; 1], но x₀ Ф x_t "1 e N. Противоречие. Теорема доказана.

Поскольку Q[0; 1] = IC₀, то [0; 1] > IC₀. Мы пришли к более высокой мощности.

Определение

Если A~[ 0;1], то A называется множеством мощности

континуума. Запись: A = c. Таким образом, c > a .

Для установления A = c обычно строят биекцию f : A « [ 0;1 ] или f : A « B, где уже известно, что B = c. Рассмотрим свойства множеств мощности континуума.

1^o При a < b, < a, b > = c. Доказательство

Для [ a, b] построим биекцию f (x ) = a + (b - a) x отрезка

[ 0;1] к [ a; b]. Значит, [a, b] = c. Другие промежутки

получаются удалением 1 или 2 элементов, что не меняет мощности бесконечного множества. Свойство доказано.

2^o Если A = U A, 1Ф j ^ A П A_f =0, A = c, то A = c

1=1 ^J

Доказательство

в

n

Возьмем набор точек 0 = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_{x i} < x_n = 1.

n

Тогда [ 0;1 ) = u [ x_k-1, x_k ),...[ x_k-1, x_k ) = c. Поставим

k=1

соответствие A_k промежуток [ x_k-1, x_k). По принципу

n

склеивания A = u A = ^ [x_k-1, x_k) = [0,1) = c.

¹=¹ k=1

Свойство доказано.

3^o A = u A, 1 ф j ^ A п A,. = 0, A = c ^ A = c.

1=1

^j

Доказательство

Возьмем на [0;1) строго возрастающую последовательность (_x ) , такую, что lim x = 1.

V ^лп /пе N' ^J ' _n®_¥ ⁿ

Установив соответствие А_к «[ x_k-1, x_k ), x е N и применив

n

принцип склеивания, получаем А = u [ x_k-1, x_k) = [0;1) = c

k=1

Свойство доказано.

4^o R = c.

Действительно, R = [⁽-n⁾; ⁽-п + 1⁾) [ п -1; п)

5^o I = c (I множество всех иррациональных чисел).

Действительно, I = R \ Q, а Q = IC₀ = a .

6^o Множество всех последовательностей натуральных чисел имеет мощность c. Примем это свойство без доказательства. Для доказательства можно использовать либо цепные, либо двоичные дроби. Оба способа описаны в [1]. Примем без доказательства еще несколько свойств.

7^o Множество всех строго возрастающих

последовательностей натуральных чисел имеет мощность c .

8O Если элементы множества определяются конечным или счетным количеством индексов, каждый из которых независимо от других принимает c значений, то это множество имеет мощность c. Следствие

Мощность множества Rⁿ , в частности R² (плоскость) и R³ (пространство), равна c .