§ 7. Внутренняя и внешняя меры

Пусть множество A с R ограничено. Меру мы пока ввели только для открытых и замкнутых множеств. Способ введения меры произвольного множества указывает 5° и 6° предыдущего параграфа. Это способ приближения «вписанными» и «описанными» замкнутыми и открытыми множествами, мера которых уже определена.

Определение

Внутренней, или нижней, мерой ограниченного множества A называется число m*A = sup mF_t. Внешней, или верхней,

F с A

мерой называется число m A = inf mG_t.

G_t з A

По результатам предыдущих исследований для ограниченных открытых и замкнутых множеств имеем:

_G

*^ ^ J—i * J—i J—i

* = m G = mG, m*F = m F = mF .

Свойства внутренней и внешней мер: 1°. m* A < m* A.

• Пусть F е A, G з A. Тогда F е G и mF < mG . Следовательно, в силу произвольности F и G {mF: F е A] ограничено сверху числом mG. А тогда sup^_AmF = m* A < mG {mF: F е A] . Множество {mG: G е A]

ограничено снизу числом m* A . А тогда inf mG = m A > m* A ◄.

2°. Если A е B, то m* A < m*B, m A < m B.

• Действительно, F е A ^ F е B. Тогда {mF: F е A] е {mF: F е B] .

Значит, sup {mF] < sup {mF], т. е. m A < m B.

F е A F е B

Для внутренней меры аналогично ◄.

3°. A = u A., I< IC₀, тогда m*A< Z m*A..

^BI TI

► Если Z m* A_t = +¥, то очевидно.

i

Пусть Zi m* A, е +¥ "e > 0.

* e

Найдем G.: G. з A., mG. < m* A. +—, i = 1,2,3... ^{1 i i i i} 2i Пусть A - интервал, содержащий множество A .

Тогда A еА п (uGj , отсюда m*A < m(A п (u g)) = = m(u(А п Gi)) < ZmGi < Zm*A, + e .

Ввиду произвольности e > 0 требуемое неравенство выполняется ◄.

4°. A = u A, I< IC₀, iф j^ A п A_f =0 .

ieI ' ^{0 i j}

Тогда m* A > £ m* A,.

i

► Действительно, "e > 0, i = 1,2,..., n, выберем F: F e Д, e

mF > m* A, —. Поскольку F п F_f =0 , i Ф j, то n ^j

A n Л ^{n n}

m* A > m |u Fl = £ F > £ m* A-e.

V ⁱ=¹ ) i=1 i=1

Ввиду произвольности e > 0, m* A > £ m* .

i

Если I = IC₀, то, переходя к пределу при n ® ¥, имеем: £ ,m*a, <m*A ◄. Замечание

Это свойство не выполняется для недизъюнктного семейства множеств.

Пример

A =[0;1], Д =[0;1]. Д u Аг = A. m* A = 1, m* Д+ m* Д = 1 +1 = 2.

5°. Пусть интервал Ad А. Тогда m* А + m* (c_D А) = mD, c_A А = B.

► Возьмем Fe B: mF> m_*B-e, e> 0 - произвольно. Обозначим G = c_A F, это открытое множество, оно содержит А. Тогда m А<mG = mA-mF<mA-m*B-e. Из произвольности e, m* A + m* B < mA. Установим обратное неравенство. "e > 0 найдем G₀ d A

_*e

открытое, такое, что mG₀ < mA + — . Пусть A = (a;b). Возьмем

_e

интервал (a; b)c(a;b), такой, что a< a <a+— . Множество

F₁= c_DG₁ замкнуто. F₁= c_D A, тогда m* (c_Da)>> mF₁ = = mA-mG₁ > mD-m A-e .

Ввиду произвольности e имеем обратное неравенство, а значит, и нужное равенство ◄.

Следствие

mi (c_D A)-m*( c_D A) = mm A - m* A.

§ 8. Измеримость множеств

Определение

Множество A называется измеримым, если m* A - m* A. Их

общее значение называется мерой множества A и обозначается mA.

Таким образом, ограниченные открытые и закрытые множества измеримы, а их меры равны ранее введенным. Из следствия §7 вытекает, что если интервал Dd A, то множества A и c_D A одновременно измеримы или нет.

Свойства измеримых множеств:

1°. A = u A, I< IC₀, i * j ^ A п A. =0, A измеримы. Тогда

ieI ^j

A измеримо.

► Действительно,

Z mA =Z m* A < m* A < m* A < Z m* A, =Z mA ^ m* A = m* A ◄.

i i i i

n

2°. Если A, A,..., A_n измеримы, то A = u A измеримо.

i=1► Действительно, "e > 0, "i = 1,2,...,n возьмем

e

ограниченные F с A_i с G_i, такие, что mG₁ - mF_t < —. Обозначим

n

nn

F = u F, G = u Gi.

i =1 i =1

Тогда F с A с G, отсюда mF < m* A < m* A < mG. Множество G \ F открыто и ограничено, значит, измеримо. Также G = F u (G \ F), причем F п G \ F = 0 .

Тогда m (G \ F) = mG - mF. Также m (G_t \ F ) = mG₂ - mF_t.

nn

Поскольку G\Fс u(G_i\F), то m(G\F)<£m(G₁ \F) =

ⁱ⁼¹ i=1

= Z mG₁ - mF < e.

i=1

Отсюда m* A - m* A <e^ m* A = m* A ◄.

n

3°. Если Д, Д,... A_n измеримы, то u A_i измеримо.

^{1 2 n} _i=1 ⁱ

• Действительно, пусть A - интервал, содержащий все Д..

n

Тогда c_A = u c_A Д. (по законам де Моргана). c_A Д. измеримы

i=1

одновременно с множествами Д., отсюда имеем измеримость c_A A и значит, A ◄.

4°. Д, A₂ - измеримы ^ A = Д \ Д измеримо.

• Действительно, пусть интервал A содержит A₁, A₂ . Тогда A = д п c_A A₂ и 3° ◄.

5°. Если в 4° дополнительно A ³ A, то mA = mA - mA₂.

• Поскольку A п Д, Д = Au Д, то mД = mA + mA₂ ◄.

6°. А = u A_t, A_t - измеримы, тогда А измеримо.

_i=1 ^{i i}

• Введем множества В = А;, B₂ = А₂ \ А₁,...,В, = А,\ u А,,

к=1

тогда А = u B_t.

_i=1 ⁱ

Все Bj измеримы и попарно не пересекаются, можно использовать 1° ◄.

7°. А = u A_i, А, - измеримы. Тогда А измеримо.

_i=1 ^{i i}

• Пусть A - интервал, содержащий A . Обозначим

f ¥ Л ¥ ¥

В_к = A \ А_к, тогда A = A \ A = A п u А, = п (A \ А )= п В.

^ i=1 j i=1 i=1

Поскольку c_A = u c_AB_t, то по ранее установленным свойствам

i=1

О

А - измеримо ◄.

8°. Пусть А,ie N - измеримы, Д е А₂ е ... е A_n. Если А = u А, ограничена, то mA = lim (mA_n ).

i=1 n ®¥

► Действительно, A = A u ( A₂ \ A₁) u ( Aj \ A₂)u ( At \ A3).... Слагаемые попарно не пересекаются. Тогда по 1 ° и 4

mA = mA + У m( A+i \ A ) = mA + (mA₂ - m4 ) + (mAj - mA,) + ...

i=1

n-1

Отсюда mA = lim (mA + У (mA,+₁ - mA,)) = lim (mA„ ) ◄.

n®¥ ^ n®¥

i=1

¥

9°. Пусть А,ie N измеримы, A = п A, А з А з A3 з ...

i=1

Тогда mA = lim (mA_n ).

n ®¥

► Это свойство сводится к предыдущему стандартному способу введения интеграла Аз А, . Очевидно, c_AA е c_AA2 е c_AA е ... и примем 8° ◄.