§ 11. Мера Лебега в пространстве Rn

При построении меры Лебега в Rⁿ за основу берут

n

параллелепипеды П = a_i;b). Особую роль играют ячейки -

i=1

n

полуоткрытые параллелепипеды: П_с a_t; b_i). Их роль

i=1

заключается в том, что каждое непустое открытое множество

G с Rⁿ есть не более чем счетное объединение дизъюнктного семейства ячеек с конечными «ребрами». Мерой

n

параллелепипеда П = a_{; b) называется число

i=1

nS

гпП = ^( bj - a_i). Мера открытого множества: mG = Zmn_c,, i=1 i=1 ⁱ П_с попарно не имеют общих внутренних точек.

Если F замкнуто, F с П - открытый, G = П \ F, то mF : := тП - mG . Для X с Rⁿ ограниченного, вводится

внутренняя и внешняя меры: m*X = sup mFj, m* X = inf G_{.

F e X ^Gi ^{d X}

Если m* X = m* X, то X называется измеримым. За подробностями отсылаем к литературе [ 9 ], [10 ].

§ 12. Связь мер Жордана и Лебега

Установим основные соотношения указанных мер. Теорема 1

Если X e R ограничено, то mes* X < m* X < m* X < mes* X.

Доказательство

Рассмотрим два случая:

1. X Ф 0, mes* X = lim l_n, l_n - сумма длин заполненных

отрезков ранга n. Поскольку (l_n) n не убывает, то mes* X = sup {l_n } . Заполненные отрезки есть замкнутые

neN

множества, входящие в X и составляющие часть семейства Fj e X. Тогда mes* X = sup {l_n } < sup mF₁ = m* X.

neN F e X

mes* X = inf {L_n}. Включающие отрезки входят в открытые

ne N

множества, содержащие X . Поэтому mes^* X > inf G_i = m^* X .

Gi d X ^j

2. X = 0 верно. Теорема доказана.

Теорема 2

Если множество X измеримо по Жордану, то оно измеримо по Лебегу и mesX = mX.

Доказательство

BmesX = mes* X = mes* X = m* X = m* X, т. е. m* X = m * X, X измеримо по Лебегу, при этом

mesX = mes_* X = mes^* X = m_* X = m^* X = mX .

Теорема доказана.

Замечание

Обратное включение неверно: существуют множества, измеримые по Лебегу, но не измеримые по Жордану.

Пример

X = Q _a;b ]. mes* X = 0, mes * X = b - a. mX = 0 как счетного ограниченного множества.

§ 13. Мера абстрактных множеств

Дальнейшее развитие математики потребовало распространить понятие измеримости и на абстрактные множества. Изложим в обзорном порядке один из подходов к построению меры на абстрактных множествах. Пусть X Ф0, 5 еЬ( x), 5 = { А.

Определение

Семейство 5 называется аддитивным классом множеств, если выполняются условия:

1. 0e5.

2. Xe 5.

3. А £ 5 ^ cA e 5.

oo

4. A_n e S"n e N ^ u A_n e S.

n=1

Эти условия показывают, что S есть (s) - алгебра множеств.

Примеры

1. b( x) есть аддитивный класс множеств (АКМ);

2. на [ a; b] возьмем последовательности множеств ( G_n )_neN

¥ ¥ открытых, (F_n )_ne n - замкнутых. Тогда u G_n открыто, п F

n=1 n=1

замкнуто.

Множества, полученные из F, Gj применением действий u и п не более, чем счетное число раз, образуют борелевскую систему множеств B. Она есть АМК.

Пусть имеем (A_n )_neN. Введем понятие наибольшего и

наименьшего пределов последовательности множеств:

¥ ¥ ¥ ¥ limAn = П U Ak, limAn = П U Ak .

n=1 k=n n=1 k=n

Если они совпадают, то последовательности называются сходящимися, а общее значение этих пределов называется пределом последовательности, lim A_n. В частности,

n®¥

возрастающая и убывающая последовательности имеют ¥¥ пределы u A_n и п A_n .

n=1 n=1

Если A_n входят в АКМ, то limA_n и limA_n тоже входят в S. Если S - АКМ, то множества A e S называются S - измеримыми.

Пусть на S задана функция j: S ® R. Она называется аддитивной функцией множеств, если

Aп B = 0 ^ j( Au B) = j( A) +j( B).

f

Если ( An )_neN - дизъюнктное, и j и An | = An ) ,

^ ⁿ=¹ J n=1

то j называется вполне аддитивной функцией.

Вполне аддитивная неотрицательная функция на классе S - измеримых множеств называется мерой этих множеств. Запись: /( A).

Свойства меры

1°. A, B е S, A с B ^/( A )</( B).

2°. /(0) = о.

3°. Если ( A_n ) _N монотонна, то /(lim A_n ) = lim /( A_n ). 4°. /(limAn ) = lim/ ). 5°. /(lim A )> lim/( A_n ).

6°. Если ( A_n )_mN сходящаяся, то / (lim /A_n ) = lim / ( A_n ). Мера называется конечной, если //(A) <+¥ для всех Aе S. Мера называется (s) конечной, если

VAе 53( An )_neN, An е S : A с U An a/( An )<+«Vnе N.

n=1

Этим мы и ограничимся в рассмотрении вопросов теории меры и перейдем к измеримым функциям.

Решение типовых задач к главе 1 Задача 1

Выяснить измеримость множества X = ( 1,15; 3,24 ] U { 5,3}

по Жордану. Решение

[a,b] = [1;6], к = 5

.

Возьмем F_n =[1 - 10^-n;2] u { 5} . F_n с X, mF_n = 1 + 10^-n + 0.

sup Fn с x ^mFn = supn^ {¹ +^10-n } = L

В качестве G_i з X будем брать множества, состоящие из интервалов. G_n =( 1;2 + 10^-n ) u (5 - 10^-n;5 + 10^-n ).

mG_n = 1 + 10^-n + 2 * 10^-n. inf^ _NmG_n = inf_nEN {1 + 3 * 10^-n} = 1.

Итак, m*X = 1, m*X = 1 и X измеримо по Лебегу. Задача 3

Верно ли, что f_n (x) > 0 на X, где

'5, x = 2,

2 < x < 4,

x²

X = [ 2; 4 ], fn (x)

n + 2' 7, x = 4?

Решение. При 2 < x < 4, f_n (x) = x = 2, f_n (x)® 5. При

При Итак,

x²

® 0.

n + 2 x = 4, fn (x)® 7. Y = { 2,4}, mY = 0, утверждение верно

.Задачи к главе 1

1. Найти меру Жордана множества X = (-1,12;3,15 ] u { 4,51} .

2. Найти по определению m*X, m* X, где X = (0,1) u [3,4) u {5} .

3. Найти меру Лебега множества чисел (0,1), в десятичной записи которых нет ни одной цифры 5.

Сходится ли почти всюду на X = ( 1;3 ] последовательность

( n (x))

к

neN

некоторой функции f₀ (x), если

x

1. + -, x e Q,

n

2. - 4±i ?

f_n (x)

<

n² +

1