§5. Классификация Бэра

Французский математик Рене Луи Бэр (1874-1932) разработал классификацию функций по «степени их разрывности». Рассмотрим его результаты в обзорном порядке. Ограничимся [a; b], хотя можно обобщить на более общее множество X е R .

Множество всех непрерывных на отрезке [a; b] функций.

C[a; b] назовем нулевым классом Бэра и обозначим B₀. В первый класс Бэра, Д, включили те и только те функции,

которые уже имеют разрывы, но являются поточечными пределами последовательностей непрерывных функций.

Пример

^f(х) = 1 °'^х= !°^{;1) не вхо}д^{ит в B}0. ^Но f(х)=н_тхп^{, на} [⁰;¹]

и

относится к классу B₁ .

Функции, не входящие в B₀ и B₁, но являющиеся _{lim f (х)} ,

п

П®¥

где f_n (х) е Д, составляют класс Бэра - B₂. Аналогично получаем B_n, п е N.

Так, функция Дирихле - Di(х) = - есть функция

второго класса Бэра

.

Как известно, она разрывна во всех точках отрезка [a; b]. Действительно, рассмотрим множество Q[a; b] рациональных точек из [a; b]. Оно счетно.

j^(х)={0^;,

Перенумеруем его: (r_n), nе N. Введем функции:

х = щ, k = 1,2,...,n

[0, в остальных точках. j_n (х) имеет конечное число точек разрыва и относится к классу B .

Di(х) = lim j_n (х) и Di(х) е B₂.

Однако классификацию Бэра можно продолжить и дальше. Если f(х)е B_m "m е N, но f (х) = lim f_n (х), где f_n (х) е B_m , то

f (х) отнесем к классу B_w. Далее определяется класс B_m+1 и т. д.

Если а - порядковое число второго числового класса и определены все классы Бэра Bp, b <а, то функции из B_a

определяются как не входящие ни в один класс Bp, p < а, но

f (х) = П®п f_n (х), f_n (х) е Bp_n, b < а.

Такая классификация функций называется классификацией Бэра, а функции всех классов B_a, а < W называются функциями Бэра.

Интересно отметить, что номерами классов Бэра могут быть только числа 1 и 2 числовых классов. Способом Бэра нельзя определить класс B_W . Действительно, каждая

последовательность функций Бэра ( f_n (х)характеризуется

тем, что f_n (х) е B_a , a_n <W

.

Тогда $g> a_n "ne N, g входит во второй числовой класс. Тогда lim f (x) входит в класс с номером, не больше g.

Рассмотрим основные свойства функций Бэра.

1. Все классы Бэра непустые.

2. Множество всех функций Бэра имеет мощность континуума.

3. Каждая функция первого класса Бэра имеет всюду плотное множество точек непрерывности.

4. Монотонная функция есть функция не выше 1-го класса.

5. Каждая функция 1 -го класса есть предел после­довательности полиномов с рациональными коэффициентами.

6. Функция с конечным или счетным множеством точек разрыва есть функция 1-го класса Бэра.

7. Равномерный предел последовательности функций классов < a есть функция классов < a.

Свойство 2 показывает, что все функции Бэра составляют ничтожно малую часть множества всех функций, заданных на

[ a;^b].

§6. Функции ограниченной вариации

Проблема

Насколько сильно изменяются значения f (x) на [ a, b] ? Пусть функция f(x) задана на [a, b]. Выполним (T)- разбиение [a, b]: a = x₀ < Xj < ... < x_i+1 < ... < x_n-1 < x_n = b. Составим

b n-1

сумму V( f ;T) = ^ | f (x_i+1) - f (x_k )|. Эта сумма называется

^a k =0

вариацией или изменением f(x)на [a,b] по данному (T)-

b b b разбиению. Обозначим V( f) = sup V( f; T). Если V( f) < +¥, то

a (T) a a

f(x) называется функцией, ограниченной вариации на [a, b]

b

(ФОВ на [a, b]), а число V( f) называется полной вариацией,

a

или полным изменением f (x) на [ a, b]. ФОВ определил Жордан (С. Jordan). Множество ФОВ на [a, b] обозначается V [ a, b].

Если f(x) е V[a,b], то, по определению sup,

bb Ve>0 3(70): V( f;70)> V(f)-£,

aa

т. е. V ( f,7 ) можно сделать сколько угодно близкой слева к

a

b

полной вариации. Всегда V( f) > 0. Для f (x) = const, V( f) = 0 .

a

Понятие ФОВ можно распространять на [a, +¥). Если f(x)

b

есть ФОВ на [a, b] Vb > 0 и V( f) ограничены в совокупности,

a

+¥ b

то f (x) называется ФОВ на [a, +¥ и V(f) = sup V( f). Далее

^a b>a ^a

рассмотрим ФОВ на [ a, b] и их свойства. Свойства ФОВ на отрезке 1⁰. Монотонная функция есть ФОВ

► Пусть, например f(x) не убывает на [a, b]: f (x) ® V(T) имеем:

b n—1 n—1

V( f;T) = f(x_k+1)- f(x_k)| = 2(f(x_k+1)- f(x_k)) =

^a k=0 k=0

= (f(x)- f(x,)) + (f(A2)- f(x) + ...

b

... + ( f (xn) - f (xn-1)) = f (xn) - f (x>) = f (b) - f (a) ^ V( f ) = b- a

.

Аналогично для невозрастающей функции

b

V( f) = f (a) - f (b). В общем случае монотонной функции

a b

V( f) =| f(a) - f (b) | ◄.

a