4°. Конечная аддитивность меры Жордана. Если

n

X = u X_i, i ф J ^ X_i п X, =0, X_i - измеримы, то X измеримо

i=1 ^J

n

и mesX = ^ mesXj.

i=1

5°. Если X, Y измеримы, X с Y, то mes (Y \ X) = mesY - mesX.

Построение меры Жордана в , n > 1 аналогично ^. Рассматриваются заполненные и включающие n -мерные

n

прямоугольники a_t, ]. Измеримые по Жордану множества

i=1

на прямой называются спрямляемыми, на плоскости - квадрируемыми, в пространстве - кубируемыми.

Этим мы и ограничимся в рассмотрении меры Жордана и перейдем к более совершенной мере - мере Лебега.

§ 4. Построение меры Лебега

Пусть имеется некоторое решение «легкой» задачи теории меры на прямой или плоскости. Если A с B, то B = A u (B\ A), Aп (B\ A) = 0 . Следовательно, должно быт

ь

m( B) = /( A) + /( B \ A). Итак, A e B ^ /( A)<m( B) - принцип монотонности.

Отсюда следует, что "a, bе ({a}) = 0, т. к. на [0,1] имеется континуум множеств, конгруэнтных {a} . Далее, по М 4*, мера конечного множества равна нулю. Следовательно, (a, b) = [ a, b) = [ a, b) = [ a, b].

Поскольку [0,1] =	Гп 1 ^	Гл 11	= 1
то	0,-1 =	0-
	_ n)	_ n _	n

b - a е @ ^ (a, b) = b - a.

0,11u

n )

1,21u... u

n nI

n - 2 n -1

n-1

u

1

n

n

n

Далее это дает? что [ a, b] = b - a при

По принципу монотонности [ a, b] = b - a "a, b е a < b.

Наиболее естественным решением «легкой» задачи теории меры на прямой будет такое, что /G, G - открытое непустое ограниченное множество, есть сумма мер его составляющих интервалов. Меру замкнутых множеств можно определить исходя из их структуры через их дополнения - открытые множества. Произвольные ограниченные множества можно «приближать» «изнутри» и «снаружи» замкнутыми и открытыми множествами. Такой способ построения меры и реализовал французский математик Анри Луи Лебег, Lebeque (1875-1941). Перейдем к изложению этой теории.

§ 5. Мера открытых множеств

Определение

Мерой интервала (a, b) называется число m(a, b) = b- a.

Мерой 0 называется 0.

Пусть G открыто. Если G неограничено, то принимаем mG ::=+¥. Пусть G Ф0 ограничено. Известно, что G есть н

е

более чем счетное объединение дизъюнктного семейства своих составляющих интервалов.

G = U( bi), I < ICo, i Ф j ^ (ai; b) П (a.; bj ) = 0 . Если I

конечно, то число Z m (a_t, b_t) конечно.

i=i

Естественно, в этом случае считать мерой G это число. Хотелось бы распространить такой подход и на счетный случай. Но здесь уже имеем ряд, и надо быть уверенным, что он сходится.

Теорема 1

Если G = u (a_t, b), (a_{, b_t) - составляющие интервалы G, то

i=i

ряд Z m(a_i, b ) = Z (b_i - a_i) сходится.

i=i i=i

Доказательство

Ряд знакоположительный, частичные суммы S_n возрастают,

G ограничено, G с (a₀; b₀). По свойству монотонности, S_n < b₀ - a₀. S_n ограничены сверху, значит, lim S_n < +¥ .

Теорема доказана.

Итак, мы можем дать следующее: Определение

Мерой непустого ограниченного открытого множества называется сумма мер его составляющих интервалов

^mG=Z ^m (a^{, b}i)=Z (^bi^- a).

ii

Пример. Канторово множество G₀. Оно открыто и ограниченно.

G0 j 1,2w 1,2 i и f 7,%.., mG0 = 1+2+±+...= i.

⁰ I 33 Jl 99 Jl 99J ⁰ 3 9 27Свойства меры открытых ограниченных множеств:

1°. Монотонность: G₁ с G₂ ^ mG₁ с mG₂.

• Следует из того, что каждый составляющий интервал G₁ входит в один и только один интервал G₂ ◄.

2°. Неотрицательность: mG > 0.

• Очевидно ◄.

3°. mG = inf mG..

С, dg

• Из 1° ◄.

4°. Полная (счетная) аддитивность.

• G = u Gi, iФ J^ G,п G. = 0. Тогда mG = £mG_t.

ie I ^{i i j} _{ie I} ⁱ

Действительно, обозначим dj^k) как составляющие интервалы множества G_k . Все dj^k) с G. Покажем, что их концы не входят в G . Допустим противное. Пусть, например, правый конец dj^k' входит в G . Тогда это число b e G_K^ где K₀ ф K.

Gk₀ открыто ^ b с (a, g) С Gk₀ ^ be j' ^ Gk п Gk Ф 0, что невозможно по условию ◄.

5°. Если G = u G,, I< IC₀, то mG < £mG_t.

ie I ^{i 0} _{ie I} ⁱ

• Это свойство, очевидно, выполнено для дизъюнктного семейства множеств, а для недизъюнктного - по монотонности меры ◄.

Перейдем к другому «хорошему» классу ограниченных множеств - замкнутых.