Раздел 2. Метрическая теория функций

Глава 1. Измеримые множества § 1. Движения в пространстве Rn

Определение

Движением в пространстве Rⁿ называется преобразование j: Rⁿ ® Rⁿ, сохраняющее расстояние между точками: " A, B е Rⁿ ^ р( A, B ) = r(j( A), j( B)).

Имеется в виду эвклидова метрика. Таким образом, движение есть изометрия. Движения имеют очень важное свойство - взаимной однозначности (инъективность).

Теорема 1

Движение есть инъективная функция. Доказательство

Обозначим j( A) = A', j( B) = B. Если A Ф B, то

r(A, B)> 0 ^ r( A, B) = r(A, B)> 0 ^ Aф B. Теорема доказана.

Примерами движения в пространстве R¹ (прямая), а нам нужен, в первую очередь, именно этот случай, будут:

1. Параллельный перенос (сдвиг), j( x) = x + d.

2. Зеркальное отображение (симметрия относительно т. О), j(^x) = ^{- x}.

Это и есть основа всех движений в R. Теорема 2

Каждое движение в R есть либо сдвиг, либо зеркальное отображение, либо их суперпозиция j( x) = ±x + d.

Доказательство

Обозначим р( 0) = d. Тогда

"xe R ^ |р( x)-d = |x ^р( x) = ±x+ d. Теорема доказана.

Теорема 3 (О свойствах движения)

При движениях в R выполняются условия:

1. Интервал (a, b) переходит в интервал (a, b'), где

a =р(a), b = р(b).

2. Ограниченные множества переходят в ограниченные.

3. Замкнутые множества переходят в замкнутые.

4. Открытые множества переходят в открытые.

Эти свойства очевидны из формулы движения р(x) = ±x + d.

Теорема 4

Функция, обратная к движению, есть движение. Действительно, если y = ±x + d, то x = ±y + d.

Определение

Если множества A, B получаются друг из друга движением, то они называются конгруэнтными между собой. Запись A ~ B (есть и другие обозначения). Очевидны свойства конгруэнтности: 1°. Рефлексивность: "A е R[ A ~ A].

2°. Симметричность: "A, B е R[ A ~ B ^ B ~ A]. 3°. Транзитивность: "A, B, C е R[ A ~ Ba B ~ C ^ A ~ C]. Отсюда получаем, что конгруэнтность множеств есть эквивалентность на булеане b (R).

Движения имеют большое значение в теории меры. Перейдем теперь к постановке основных задач.

§ 2. Проблемы построения меры

Понятие меры множеств есть обобщение геометрических понятий длины отрезка, площади фигуры на плоскости, площади поверхности в пространстве, объема тела в пространстве, даже гиперобъема гипертела в Rⁿ. Понятие меры множества необходимо распространить на широкий класс множеств. Скажем, в геометрии измеряют длины отрезков, а о «длине» интервала как-то не принято говорить. Необходимо каждому ограниченному множеству X с Rⁿ (а далее, и более общих множеств) поставить в соответствие некоторое вещественное число /т(X) - его меру. При этом, естественно,

требуется выполнение некоторых аксиом. В зависимости от «жесткости» этой системы аксиом различают два случая, две задачи.

I. «Трудная» задача теории меры.

М.1. Неотрицательность. VX с Rⁿ, X - ограничено

^m( X )>0.

М.2. Нормированность. E = [0;1]ⁿ ^ m(E) = 1. М.3. Инвариантность. X~ Y^m (X) = m (Y). М.4. Полная аддитивность X = и X.,I< IC₀,iФ j^ X.n X,. =0

ieI ^{0 13}

влечет Sm(X_t) = m(X).

ieI

Теорема 1

«Трудная» задача теории меры неразрешима даже в пространстве R¹ .

Эта теорема вытекает из существования ограниченных неизмеримых множеств в R . Существует дизъюнктное11 '2'2

з з 2'2

{Л}

с u A с

A - A.

семейство

что

keN„

k=0

(Далее этот пример мы рассмотрим подробнее). В случае разрешимости «трудной» задачи теории меры было бы

11 '2^;2

3 3 '2^;2

11 '2^;2

11 '2^;2

< £ mA <m

[0; 1] ^ m

= 1.

m

k=0

3 3 '2^;2

Множество

ограничено. Обозначим mA = s.

Получаем 1 <s + s + s +... <+¥ . А это невозможно. В связи с этим рассматривается более легкая проблема. II. «Легкая» задача теории меры.

Условие М4 полной (не более чем счетной) аддитивности заменяется условием конечной аддитивности.

m

М 4*. X = U X, iФ j^ X П X,- =0 .

i=1 ^j

m

Тогда m(X) = £m(X).

i =1

Теорема 2 (С. Банах)

В пространствах R и R² (прямая и плоскость) «легкая» задача теории меры разрешима, но не однозначно.

Теорема 3 (С. Хаусдорф)

В пространстве Rⁿ при n > 3 «легкая» задача теории меры неразрешима.

Примем эти теоремы без доказательства. Трудность Rⁿ, n > 3 состоит в том, что группа движений в Rⁿ, n > 3 намного обширней, чем в R и R², и получить инвариант этой группы (аксиома М 3) намного труднее

.