§ 2. Действия над множествами

Напомним теперь о действиях над множествами. I. Теоретико-множественное сложение - объединение

Au B::={x: xe Av xе B} . Пример: [1;5] u (-1;2)=(-1;5].

Действия над множествами можно иллюстрировать рисунками (диаграммы Эйлера-Венна).

AUB

Понятно, можно рассматривать объединение любого семейства множеств: u A_t.

el

п

При I = {1,2,...,п} пишут u A_i.

i=1

При I = N запись будет u A.

_п=1 ⁱ

Свойства объединения:

10. (A и B) и C = A и (B и C) - ассоциативность;

2⁰. A и B = Bи A - коммутативность;

3⁰. A и A = A - самопоглощение;

4⁰. A и 0 = A;

5⁰. A е B ^ A и B = B;

6⁰. A и B = 0&A = 0AB = 0 .

10. Теоретико-множественное умножение - пересечение

A п B:: = {x: x e A л xe B} .

Пример: [0;1] п (-1;0] = {0}.

Можно рассматривать пересечение любого семейства множеств: п A._i.

ieI

n ¥

Аналогично объединению может быть п A_t; п .

i=1 i=1

Свойства пересечения:

1. (A п B) п C = A п (B п C) - Ассоциативность;

2. Aп B = Bп A - Коммутативность;

3. Aп A = A - Самопоглощение;

4. Aп 0 = 0;

5. A е B^ Aп B = A.

Связь объединения и пересечения:

1. A п (B и C) = ( A п B) и (A п C).

2. (Au B) п C = ( Aп C) u (Bп C).

3. Au (Bп C) = ( Au B)п (Au C).

4. (Aп B) u C = ( Au C) п (Bu C).

Это левая и правая дистрибутивность, u и п друг относительно друга.

III. Разность множеств

A\ B::={xе A: xe B} .

Пример: [0;2] \ (-1;1) = [1;2].

а\в

Свойства разности множеств: 1⁰. A\ B с A. 2⁰. (A \ B) п B = 0.

3⁰. (A \ B) u B = A u B.

4⁰. A\B = 0о Aс B.

5⁰. A\ B = A о Aп B = 0.

6⁰. (A \ B) u A = A.

7⁰. (A \ B) п A = A \ B.

8⁰. A\ (A \ B) = A u B.

9⁰. A\ (Bu C) = ( A \ B) п (A \ C).

10⁰. A\ (Bп C) = ( A \ B) u (A \ C).

11⁰. (A \ B) \ C = ( A \ C) \ (B \ C). 12⁰. A е B ^ C \ B е C\ A. 13⁰. (A\ B) п C = ( A п C) \ (Bп C).

14⁰. (A и B) \ C = ( A \ C) и (B \ C). 15⁰. A\ (B\ C) = ( A \ B) и (Aп C).

IV. Дополнение к множеству

В некоторых задачах все рассматриваемые множества есть подмножества одного и того же множества U (универсальное множество).

Тогда U\ A называется: дополнение к A, запись cA или A. cA = {xe U: xe A}.

1. cU = 0 .

2. c0 = U.

3. c (cA) = A.

4. A е B & cA з cB.

5. A и cA = U.

6. законы де Моргана.

   AП cA = 0.

7. c(Aи B) = cAп cB

8. c(A п B) = cA и cB

(де Морган, 1806 - 1871, Шотландия, один из основателей математической логики)

.

Есть еще так называемая симметрическая разность множеств:

A A B = {x: (xe ALxe B)v( xe ALxe B)} . Очевидно, A A B = ( A \ B) u (B \ A) = (A u B) \ (A п B).

A A B

Часто возникает необходимость доказывать включение множеств: X с Y или их равенство: X = Y. При этом исходят из определений: X с Y o"xе X ^ xe Y, X = Y о X с YLY с X.

Пример

Доказать первый закон де Моргана: c (A u B) = cA п cB. Доказательство будет иметь 2 этапа.

1. xe c (A u B) ^ xe A u B ^ xe ALx e B ^ x e cA Л x e cB ^ x e cA п B.

2. 7 e cA п cB ^ y e cA Л y e cB ^ y e AL y e B ^ ^ y e A u B ^ y e c (A u B).

Таким образом, наши множества состоят из одних и тех же элементов, следовательно, они равны.

Далее мы перейдем к более специальным и сложным аспектам общей теории множеств.