§2. Непрерывные функции на замкнутых множествах

Напомним известные из курса математического анализа свойства непрерывных функций, заданных на замкнутом ограниченном множестве F с Rⁿ .

Теорема 1 (1-я теорема Вайерштрасса)

Функция f, непрерывная на замкнутом ограниченном

множестве F с Rⁿ, ограничена на нем.

Теорема 2 (2-я теорема Вайерштрасса)

Функция f, непрерывная на замкнутом ограниченном

множестве F с Rⁿ, достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

Теорема 3 (Кантор)

Функция f , непрерывная на замкнутом ограниченном множестве, равномерно непрерывна на нем.

Доказательства можно найти в литературе по математическому анализу. Установим и новые результаты.

Теорема 4

Функция f , непрерывна на замкнутом множестве F с Rⁿ тогда и только тогда, когда "a е R множества {x: f (x)< a} и {x: f (x)> a} замкнуты (xе F).

Доказательство

1. Необходимость.

Пусть aе R задано. Обозначим E = {x: f (x) > a}. Пусть

(^xm Ln ^{C E x}m ® ^x0. ^{F 3аMKH}У^{T0, тог}д^{а x}0 ^{е F} .

В силу непрерывности f, f (x_n)® f (x). Ho f (x_m )> a "m е N ^ f (x₀ )> a ^ x₀ е E и E замкнуто.

Для другого множества аналогично.

2. Достаточность.

Пусть x_m е F, x_m ® x₀. Тогда x₀ е F. "e > 0 , рассмотрим два множества:

E ={xе F: f (x)> f (x>) + e}, E₂ ={xе F: f (x)< f (x0)-e} .

Эти множества замкнуты, ^ E = E U E₂ замкнуто. x^E ^ x₀ не есть предельная точка E. Тогда имеется окрестность V (x^d; F), не содержащая ни одной точки из E. Но x_m входит в нее при достаточно больших m, ^ x_m е E при

m>m₀. Тогда f (x₀)-e< f (x_m)< f (x₀) + e. В силу

произвольности e

f (x_m)® f (x₀) ^ f непрерывна. Теорема доказана.

Указанные множества часто обозначают F (f > a) и

F ( f < a). Следствие

Функция f непрерывна на всем пространстве Rⁿ тогда и только тогда, когда "a е R множества R"( f > a) и R"( f < a) открыты. Теорема 5

Множество точек непрерывности функции f, заданной на замкнутом или открытом множестве на прямой, есть множество типа G_d (в частности, это может быть 0 или R). Примем эту теорему без доказательства. В заключение отметим, что если х₀ - изолированная точка

множества X с R, на котором задана функция f, то f (x) непрерывна в точке х₀. Действительно, x_n ® x₀ возможно лишь тогда, когда при n > n₀ ^ x_n = x₀, и тогда f (x_n )= f (x₀)® f (x₀). Иногда непрерывность с учетом этого соображения называют обобщенной непрерывностью.

§3. Точки разрыва

Имеются различные классификации точек разрыва. В теории функций наиболее принята такая:

1. Если существуют оба односторонних предела f (x₀ + 0), f (x₀ -0), даже и бесконечные, то это разрыв 1-го рода.

2. Если не существует хотя бы одного из односторонних пределов, то это точка разрыва 2-го рода.

Пример

' 0; x < 0

f (x) = < i_n 1_{; x} > 0 имеет в точке x₀ = 0 разрыв 2-го рода,

^sin 2^{; x}

ибо $ llm sin¹.

x®+0 2

Рассмотрим некоторые факты, связанные с точками разрыва. Теорема 1

Пусть функция f задана на замкнутом множестве F с Rⁿ . Множество A_e ={x: w(x, f )>e} замкнуто "e > 0.

Доказательство

Пусть x - предельная точка множества A_e .

A_e с F^ x₀ е F. В любой окрестности V(x^d) имеется точка x Ф x₀ из A_e, т. е. w(x'; f)>e. Тем более, тогда w(x'; f) > e ^ x₀ е A_e и A_e замкнуто.

Теорема доказана.

Интересен следующий результат.

Теорема 2

Множество точек разрыва функции, заданной на замкнутом множестве F с Rⁿ, есть объединение не более чем счетного числа замкнутых множеств. Доказательство

Множество точек разрыва функции f обозначим через A .

Покажем, что A = u Aj . Доказываем как равенство

m — m

множеств.

1 ."xе A^ w(x; f )> 0.

Тогда $mе N: w(л; f)> — ^ хе A₁ ^ хе u A₁ ^ Aеu A₁

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 2

КОНСПЕКТЛЕКЦИЙ 2

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 3

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИИ 3

а\в 15

( А \ Д) п (А \ Аг ) = 0 ( д\ Аг ) п ( а \ Аз )=0 23

2o Если A = U A, 1Ф j ^ A П Af =0, A = c, то A = c 37

Возьмем набор точек 0 = x0 < x1 < x2 < ... < xx i < xn = 1. 37

склеивания A = u A = ^ [xk-1, xk) = [0,1) = c. 38

3o A = u A, 1 ф j ^ A п A,. = 0, A = c ^ A = c. 38

. («,А )с G^iej ^ U (a ,b ) = a с g. 77

х = щ, k = 1,2,...,n 101

(L) J [ f\dx = 0 ^ [ L ]J f (x)dx = 0. 202

^ [ l ] J a fi - EIf i] П0) dx< [ l ] J a fi - nf i] П0) dx. 216

= (L) J n2 dx = ( R)J n2dx = n ® +¥ fn (x) ® 0 . 245

[i] f t—(x)dx = limi (- - - 1 264

m — m

В итоге A = u A₁ .

m — m

По теореме 2 все множества A₁ замкнуты, их не более IC₀.

m

Теорема доказана. Следствие

Множество точек разрыва есть множество типа F_s. Особенное внимание уделим монотонным функциям. Теорема 3

Все точки разрыва монотонной функции f: R ® R, если они есть, только 1 -го рода. Доказательство

Пусть, например, f (х) не убывает. Если х е X -

изолированная, то в т. х₀ f (х) непрерывна. Достаточно считать, что х - предельная точка множества X = dom f, х₀ е X. Допустим, что в любой окрестности точки х₀ есть бесконечно много точек из X, лежащих слева от х₀. В силу монотонности f для всех этих точек х* будет f (х*) < f (х₀).

Тогда существует sup f (х). Обозначим его через m.

хе X

^х< ^х0

Покажем, что lim f (х) = m.

х® х0-0

^X

По свойствам sup, "e > 0 3x* е X: f (x*) > m-e . Тогда для x е (x*; x₀) будет m-e< f(x*) < f(x) < m < m +e, т. е. | f (x) - m |<e, т. е. f (x₀ - 0) = m.

Пусть далее в любой окрестности точки x₀ справа от x₀ есть бесконечно много точек из множества X .

Для таких точек f (x₀) < f (x), тогда 3inf f (x) = m.

xeX

X>XQ

Аналогично показываем, что f(x₀ + 0) = m. В этом случае f (x₀ ± 0) существуют, они конечны. Если х₀ - точка разрыва, то 1-го рода с конечным скачком.

Если же слева от x₀ в любой ее окрестности имеется лишь конечное множество точек из X , а справа бесконечное или наоборот, т. е. в достаточно малой окрестности есть точка из X только с одной стороны, то x - точка устранимого разрыва.

Теорема доказана.

Таким образом, точка разрыва монотонной функции, если они есть, только 1- го рода и с конечным скачком: f ( х + 0) - f (x0 - 0).

Установим мощность множества точек разрыва монотонной функции. С учетом наших дальнейших потребностей, ограничимся случаем X = [a; b].

Теорема 4

Множество точек разрыва монотонной функции, заданной на [a; b] , не более чем счетно.

Доказательство

Пусть, например, f возрастает. Известно, что множество

точек разрыва по теореме 1 A = ^ A₁ . Каждое А_г - конечное

^m m m

или пустое: оно имеет элементов не больше, чем ( f (b)- f (a)) :

—. Тогда A как объединение счетного числа не более чем m

конечных множеств не более чем счетно. Теорема доказана.

Этот результат можно обобщить на случай более общего множества X. А именно, верны:

Теорема 5

Если функция f монотонна и ограничена на множестве X с R, то "e > 0 множество A_e не более чем конечно.

Теорема 6

Множество точек разрыва функции, монотонной и ограниченной на множестве X с R, не более чем счетно.

Теорема 7

Множество точек разрыва функции, монотонной на множестве X с R, не более чем счетно. Доказательства см. в [4].