- •Теория функций действительной переменной
- •Теория функций действительной переменной
- •П 2. Разделы тфвп
- •1. Литература для математиков-теоретиков научного направления. Содержит больше материала, чем наша программа предусматривает:
- •2. Литература для математиков-теоретиков педагогического направления. Содержит практически весь нужный материал и другие вопросы:
- •3. Сборники задач:
- •Раздел 1. Дескриптивная теория функций.
- •Глава 1. Элементы общей теории множеств.
- •§ 1. Множества, подмножества
- •§ 2. Действия над множествами
- •III. Разность множеств
- •IV. Дополнение к множеству
- •§ 3. Мощность множества
- •§ 4. Сравнение мощностей
- •§ 5. Счетные множества
- •1) Из каждого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество, причем так, что останется бесконечное множество. Доказательство
- •4) Объединение конечного числа счетных множеств счетно. Доказательство
- •5) Объединение счетного дизъюнктного семейства конечных множеств счетно. Доказательство
- •§ 6. Мощность континуума
- •8O Если элементы множества определяются конечным или счетным количеством индексов, каждый из которых независимо от других принимает c значений, то это множество имеет мощность c. Следствие
- •9O Объединение континуального дизъюнктного семейства множеств мощности c есть множество мощности c . Доказательство
- •§ 7. Функциональная мощность
- •§ 8. Упорядоченные множества
- •§ 9. Вполне упорядоченные множества Определение
- •§ 10. Трансфинитные числа
- •§ 11. Континуум - гипотеза
- •Глава 2. Множества в пространстве Rn
- •§1. Метрические пространства
- •§2. Специальные точки множеств
- •§3. Открытые множества
- •40. Ш (x0, r) есть открытое множество.
- •§4. Замкнутые множества
- •0 С f с Rn. Vx0 е g. Точка X не может быть точкой
- •0 С g с Rn . Пусть x0 - любая точка прикосновения f,
- •30 . Пересечение произвольного непустого и объединение конечного семейств замкнутых множеств замкнуты.
- •1. Существует бесконечное множество номеров /
- •X е (X j y)' имеем (X j y)' с X' j y. /
- •§5. Структура откры1ты1х и замкнутыых множеств на прямой
- •§6. Множества на плоскости, в пространстве и в Rn
- •Глава 3. Функции вещественных переменных
- •§1. Непрерывность функций
- •§2. Непрерывные функции на замкнутых множествах
- •§3. Точки разрыва
- •2. Если не существует хотя бы одного из односторонних пределов, то это точка разрыва 2-го рода.
- •§4. Последовательности функций
- •§5. Классификация Бэра
- •§6. Функции ограниченной вариации
- •20. Функция класса Липшица (r. Lipschitz) есть фов. ► "(t),
- •60. Разность фов есть фов. Аналогично 50.
- •70. Произведение фов есть фов.
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость.
- •Раздел 2. Метрическая теория функций
- •Глава 1. Измеримые множества § 1. Движения в пространстве Rn
- •§ 2. Проблемы построения меры
- •§ 3. Мера Жордана
- •2. Канторово множество f0.
- •4°. Конечная аддитивность меры Жордана. Если
- •§ 4. Построение меры Лебега
- •§ 5. Мера открытых множеств
- •§ 6. Мера замкнутых множеств
- •§ 7. Внутренняя и внешняя меры
- •§ 8. Измеримость множеств
- •§ 9. Класс измеримых множеств
- •§ 10. Сходимость почти всюду
- •§ 11. Мера Лебега в пространстве Rn
- •§ 12. Связь мер Жордана и Лебега
- •§ 13. Мера абстрактных множеств
- •5. Найти меру Лебега множества
- •§ 1. Измеримость функции
- •60. Если f измеримы на X, то измеримыми будут такие
- •§ 2. Последовательности измеримых функций Теорема 1
- •§ 3. Структура измеримых функций
- •2. F( X) не ограничена. По теореме 1 построим
- •Глава 3. Интеграл
- •§ 1. Интеграл Римана
- •1. Необходимость
- •2. Достаточность
- •1. Необходимость
- •§ 2. Интеграл Стилтьеса
- •§ 3. Интеграл Лебега
- •§ 4. Сравнение интегралов Римана и Лебега
- •§ 6. Обобщенный интеграл Лебега от функций произвольных знаков
- •10. Суммируемая функция почти всюду конечна.
- •20. На множестве меры нуль суммируема любая функция и интеграл равен нулю.
- •3 Lim Sr(t) - c(b- a) - (r)Jcdx.
- •5. Вычислить (l)j f (X)dx, f (X)
- •8. Суммируема ли на (-1,8), f (X) - dx
- •(0,1)Глава 4. Пространства суммируемых функций
- •§ 1. Линейные пространства
- •§ 2. Нормированные линейные пространства
- •III. Пространства последовательностей 1. Ограниченных последовательностей, m или .
- •§ 3. Эвклидовы и унитарные пространства
- •X становится линейным нормированным пространством. Примеры
- •§ 4. Гильбертовы пространства
- •§ 5. Пространство суммируемых функций l (х)
- •If (X )e l ( х), le r, то l ( х) есть вещественное линейное
- •§ 6. Пространство функций с суммируемым квадратом
- •§ 7. Пространства функций, суммируемых с данной
- •X X у Имеем требуемое неравенство. Теорема доказана.
- •§ 8. Пространства последовательностей 1 p
- •§ 9. Пространства l2( X) и 12
- •1 В пространство
- •Теория функций действительной переменной конспект лекций
- •4 Достаточность
§ 1. Линейные пространства
Линейным, или векторным, пространством называется множество Х Ф 0, на котором заданы действия сложения его элементов и умножения их на числа, эти действия (операции) неограниченно выполнимы, однозначны и замкнуты на X , и выполнены аксиомы:
Сложение ассоциативно:
"a, b, c е X [(a + b) + c = a +(b + c)].
Существует нулевой элемент сложения: Зве X : "a е X[ a +
в=в+ a = a].Все элементы X имеют себе противоположные: "a е X$ (-a )е X : a +(-a) =-a + a =
в.Сложение коммутативно: "a, b е X (a + b = b + a).
Внешняя ассоциативность:
"a, b е P"a е X ■■■[(a/3) a = a {pa)].
Внешняя унитарность: "a е X ■ ■ ■ [1a = a ].
Внешняя дистрибутивность для суммы чисел: "a,ре P ■■■"a е X [(a + p) a = aa + pa ].
3.1. Внешняя дистрибутивность для суммы элементов из X: "ае P ■■■"a, b е X ■■■[a( a + b) = aa + ab ].
Здесь P означает множество вещественных R или комплексных C чисел. Если умножение производится на вещественные числа, то X называется вещественным линейным пространством, на комплексные - комплексным.
Примеры
I. Вещественные линейные пространства.
Нулевое пространство: 0 = {в},в + в = в,-в =
в,1в=в.Rn =
{(a1,a2,...,an),"akе R} . Действия покомпонентные.R [ x], полиномы от x.
R [ x ], алгебраические дроби.
Mm n (R), матрицы размера m х n.
C[ a, b], непрерывные на [ a, b] функции, действия поточечные.
Л или R°, последовательности (an)neN, an e R действия покомпонентные.
II. Комплексные линейные пространства
Нулевое пространство 0 .
Cn - {(a1,a2,...,an),"ak e C}.
C[ x] , полиномы.
C (x), алгебраические дроби.
Mm n ( C), матрицы.
C¥ , последовательности.
В
линейных пространствах рассматривается
вычитание векторов: a
-
b
::
a
+(-b).
Эта операция неограниченно выполнима,
однозначна, замкнута на
х.
Линейной комбинаций данных векторов
a1,
a2,...,
am
называется
вектор b
-
a1a1
+...
+
amam.
Если
b
-
в
^
a1
-
a2
-
...
-
an
-
0, то векторы называются линейно-независимыми.
Если
S
с
х,
то множество linS
линейных
комбинаций векторов из
S
называется
линейной оболочкой множества
S.
Если linS
-
х,
то
S
называется
системой образующих пространства
х.
Линейно независимая система образующих
называется базисом. Запись:
BаsX.
Мощность базиса называется размерностью
пространства: dim
х.
Корректность этого понятия следует из
того, что кардинальные числа любых двух
базисов данного пространства равны.
Если dim
х
<
IC0,
то
х
называется конечномерным, в противном
случае бесконечномерным.
Линейным (векторным) подпространством пространства х называется такое подмножество Y с х , которое является линейным пространством относительно сужений операций пространства х на Y . Критерий подпространства:
1. "a, b e Y[ a + b e Y].2. "ае P• "ае Y[aaе Y].
Функция f : X1 ® X2 называется линейной, если:
"a1, a2 е X1[ f (a1 + a2) = f (a1) + f(a2)] - аддитивность;
"а е P"a е X1 [ f(aa) = a f(a)] - однородность.
Множество линейных функций обозначается L ( X1, X2). В частности, рассматривают линейные функционалы - линейные функции из X в R (или C). Их множество само образует линейное пространство относительно обычных действий сложения функций и их умножения на числа. Это пространство называется алгебраически сопряженным к X и обозначается X*. Изоморфизмом линейных пространств называется линейная биекция X1 на X2. Запись: X1 @ X2. Если dim X = n < ¥, то X* @ X.