§ 2. Нормированные линейные пространства

Нормированным линейным пространством называется вещественное или комплексное линейное пространство, на котором задана норма, т. е. функция ||х||:Х^г ® R,

удовлетворяющая аксиомам: Н1. Неотрицательность:

"xе X [|| x|| > 0 ]. Н2. Отделимость:

||x|| = 0 ^ x=q.

Н3. Абсолютная однородность: "xе X"Ле P[\\1x\\ = |1|Jx\\]. Н4. Субаддитивность (неравенство треугольника):

"x, Jе X[||x + j|| < \\x\\ j||].

202

Функция р( x, y ) = ||x - y|| является метрикой на X, поэтому нормированное линейное является метрическим линейным пространством. Отсюда следует, что в нормированных линейных пространствах имеют место понятия и результаты, касающиеся окрестностей, специальных точек множеств, открытых и замкнутых множеств, сходимости, непрерывности и т. п. Как и в общих метрических, в линейных нормированных пространствах сходимость по данной норме дает единственный предел. Может иметь место сравнимость сходимостей: сильнее - слабее. Рассматриваются также полные по данной норме пространства, которые называются банаховыми в честь С. Банаха. Как и метрика, норма является непрерывной функцией:

^xn ^— ^ ^x0 ^ 11 ^xn II HI ^x0 II .

В нормированных линейных пространствах на ряду со сходимостью по данной норме также рассматривается так называемая слабая сходимость:

xn xo::= l (xn)—l (xo )"lе X' xo.

Здесь l означает непрерывный линейный функционал на X, а X' - множество всех таких l топологически сопряженное к X пространство. Сходимость по норме также называется сильной сходимостью. Всегда из сильной следует слабая сходимость. Аналогично метрическим пространством, задавая на линейном пространстве различные нормы, мы получаем различные нормированные линейные пространства.

Примеры

I. X = Rⁿ, x =( x_b x₂,..., x_n ).

1. || x|| = max | x_k |. Это пространство обозначается R,

k=1+n

банахово. Другое обозначение: m_n.

n

2. II x|| = £| x_k |Обозначение: Rⁿ, банахово.

k=1

f n Л2

3. ||x|| = I £ Xt Это Eⁿ, или R2, банахово.

V k=1 J

II. X = C [ a, b ]

1. II x(t)|| = max | x(t) | Обозначение: C[ a, b], банахово.

fe[a,b]

b

2. || x( t)|| = (R) J| x(t) \dt. Обозначение: C_L[a, b], Qa, b]

(R)Jx²(t)dt. Обозначение: C_E[a, b], C₂[a, b]

3. II x(t)|| =

V

Неполно по этой норме.

III. Пространства последовательностей 1. Ограниченных последовательностей, m или .

I Х|| = sup | x_k \.

keN

2. Сходящихся последовательностей, c. Норма, как в m.

3. Сходящихся к нулю, c₀. Норма, как в m .

§ 3. Эвклидовы и унитарные пространства

Специальным классом линейных пространств являются пространства со скалярным умножением, позволяющие перенести на общий случай линейных пространств некоторые геометрические понятия и результаты.

Скалярным произведением на линейном пространстве X называется функция X² ® R(C),(a, b) ® ab e R(C),

удовлетворяющая аксиомам:

СУ1. Инволютивность

.

"a, b e х [ ba - ab ] .

СУ2. Левая аддитивность.

"a₁, a₂, be х[(a₁ + a₂)b - a₁b + a₂b].

СУ3. Левая однородность.

"a e R(C)"a, b e х^^ - a(ab)].

Число ab e R называется скалярным произведением векторов a, b e R. a • a называется скалярным квадратом и

обозначается a². Если "a Ф в ^ a² Ф 0, то скалярное умножение называется невырожденным. Если "a Ф 0 ^ a² > 0, то скалярное умножение называется положительно определенным. Вещественное линейное пространство с положительно определенным скалярным умножением называется эвклидовым пространством, комплексное - унитарным пространством.

Примеры эвклидовых пространств

1. Геометрические пространства, D², D³.

a • b -11 a || || b ||cos(a, b).

2. Rⁿ, a - (a1,a₂,...,an), b - (Д,А,...,А,),

ab -ab+a2p2 +... + anb

3. C [ a, b].

b

x (f) j (t)-(R) j x(f) j<f)df.

a

Примером унитарного пространства является Cⁿ со скалярным произведением ab - a₁b₁ + a₂fi₂ +... + a_nfi_n. В частности, a² - a₁a₁ + a₂a₂ +... + a_na_n.

Простейшие свойства эвклидовых пространств

1. "a е X[ a6 = 6a = 66 = 0].

2. ab = 6 "a е X ^ b =6.

3. Правая аддитивность:

"a₁, b₁, b₂ е X [ a (b + b₂) = at\ + ab₂ ].

4. Правая однородность:

"a,bе X"bе R[a(bb) = b(ab)].

5. Дистрибутивность для разностей:

"a, b, се X[( a - b) с = ac- bc a a(b - c) = ab - ac].

Свойства унитарных пространств аналогичны эвклидовым, кроме свойств, связанных с умножением второго вектора на число:

су1

a (bb) = (bb)a = bba = b • ba = bab и т. д.

Важной отличительной особенностью эвклидовых и унитарных пространств является рассмотрение ортогональности векторов, являющейся обобщением геометрической перпендикулярности: a 1 b :: = ab = 0.

Примеры

1. D², D³ a 1 b a ^ b) = 90°.

2. Rⁿ, a 1 b ^ a₁b₁ + a₂b₂ +... + a„b„ = 0.

3. C„, a 1 b ^ a₁b₁ + a₂b₂ +... + a„b„ = 0 .

b

4. C[ a, b], x( t )1 j( t)«( R) j x( t) j( t) dt = 0.

a

Свойства ортогональности

1. a 1 b ^ b 1 a.

2. a 1 b "a е X ^ b = 6.

3. a 1 a ^ a = 6.

4. a 1 b ^ aa 1 bb.

5. a 1 bk, k = 1 + m ^ a 1ДА+ДЬ + ... + fi_mb_m. Пусть S = { a_k}_keI - не более чем счетное множество векторов. Если k Ф j ^ a_k 1 aj, то S :: = ортогональная. Известно, что ортогональная система ненулевых векторов линейно независима. Линейно независимое множество векторов можно ортогонализовать процессом ортогонализации Грамма - Шмидта.

Пусть S = { a_k }_keI линейно независима. Необходимо

построить по S систему T = { b_k }_keI ортогональную. Принимаем

1 1 a₂b a₃b a₃b₂ ^b = ^a1 . ^b2 = ^a2 ^b ' ^b3 = ^a3 " -jjT ^b b2" ^Ъ2 ^{и т}. д.

Если dim X < IC₀, то ортогонализовав Bas X, получим

ортогональный Bas¹X. a 1 S означает a 1 b, "b e S. S₁ 1 S₂ ^ a 1 b"a e S₁, "b e S₂.

В эвклидовых и унитарных пространствах выполняется важное неравенство.

Теорема 1 (Неравенство Коши - Буняковского - Шварца)

" a, b e X [| ab\ <y[a²yfb² ] .

Доказательство 1

При b = в, ab = ad = 0, 4b² = sfd² =40 = 0,

VO^Vb² = 0, 0 = 0.

b Ф 0. Рассмотрим скалярный квадрат

(а -lb)² > 0,"ie R(C).

(а - lb)² - (а - 1b)(a - lb) = aa - a(ib) - (lb)a + (1b)(1b) =

= a² - lab -lab + lib² > 0. ab

Положим I = — (при b Фв^ b² > 0 ), _b2

a² - ab - a~b + lib² > 0. _b² _b²

Умножим на b² > 0 11 =| 11² = ^. Имеем:

a²b² - (ab)(ab) - (ab)(ab)+ | ab |² = a²b² - | ab |² - | ab |² + | ab |² = = a²b² - | ab |² > 0 ab |² < a²b².

Поскольку обе части неотрицательны, то | ab |< .

Теорема доказана.

Наличие положительно определенного скалярного произведения позволяет ввести норму.

Теорема 2

Функция V (a) = "[а² есть норма на X.

Доказательство

Проверим выполнение аксиом нормы.

1. Неотрицательность. V(a) = +V0² > 0 "a е X.

2. Отделимость. V(6>) = л/в² = V0 = 0 .

   5. (a ) = 0 ^VO² = 0 ^ a² = 0 => a = в.

3. Абсолютная однородность.

V(la) = V(la)² = V(1a)(1a) = V(11)a² = V111² a² = =| 11 уШ² =| 11 V(a).

4. Субаддитивность.

V(a + b) = V(a + b)², V(a) + V(b) = Va² + Эти числа

неотрицательны.

Сравним квадраты.

5. ²(a + b) = (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + bc + b² = = a² + ab + ab + b².

Если ab = a + fii, то ab = a - fii.

ab + ab = 2a е R

.

(V(a)+V(b))²=(ja)² = a²+b²+27a⁷ vb².

2a < 2yl a² + b² = 2 | ab |. По теореме 1: 2 | ab |<

Тогда V²(a + b) < (V(a) + V(b))² ^ V(a + b) < V(a) + V(b). Теорема доказана.

Эта норма называется эвклидовой.