5. Найти меру Лебега множества

1

n

n e N.

5 + -

n⁴ + 5

n

X = n + -, 3 + - ₂ . I n n +

1ГЛАВА 2. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ

§ 1. Измеримость функции

Пусть Х^0, X е R, на X задана вещественная функция f. В некоторых точках из X допускаются и бесконечные значения (правила действия с несобственными вещественными числами (-¥ ) и (+ ¥ ) - обычные). Как уже мы рассматривали ранее, X( f > a) означает множество {xe X: f(x) > a}, ae R. Аналогичный смысл имеют X( f > a), X( f < a), X( f < a). Теперь введем понятие измеримой функции. Определение

Функция f, заданная на множестве X, называется измеримой, если выполнены условия:

1. Множество X измеримо.

2. 

   Для всех a e R множества X( f > a) измеримы.

Пример

f (x) = const на X измерима.

Действительно, пусть f (x) ° b. Тогда X( f > a) =

X и 0 - измеримы. Свойства измеримых функций:

1⁰. Если mX = 0 , то каждая f на X измерима.

Yе X ^ mY = 0.

3 . Пусть X = u X_i, I < IC₀, X_i измеримы, f измерима на

BI

всех X_t. Тогда f измерима на X.

Действительно, X( f > a) = u X_i( f > a) - измеримо.

BI

Введем теперь новое, очень важное понятие. Определение

Пусть на множестве X заданы функции f и g. Они называются эквивалентными на X, если mX( f Ф g) = 0. Запись: f ~ g.

Пример

Г1; x е Q,

Функция Дирихле Di(x) = < эквивалентна нулевой

[0; x£ Q,

функции на данном промежутке, ибо X(Di (x) Ф 0) есть

некоторое множество рациональных чисел, Q<_{a ь>} - счетно и

имеет меру нуль.

Очевидно, эквивалентность функций есть отношение эквивалентности.

В этой терминологии эквивалентность функций означает их равенство почти всюду на Х. Продолжим изучение свойств измеримых функций.

4⁰. Если f измерима на X, f ~ g, то g измерима на X. Действительно, обозначим Y = X( f Ф g), mY = 0, т. е. Y измеримо. Пусть D = X \ Y, D - измеримо. На множестве D f ° g и g измерима на D. Тогда g измерима на Du Y = X .

5⁰. Если f измерима на X, то "а е R измеримые множества: X( f > a), X( f = a), X( f < a), X( f < a).

Действительно, измеримость указанных множеств следует из соотношений:

^{X (f} > ^a)=0 ^X [^f >^{a -} n J^;

X(f = a) = X(f > a)\ X(f > a); X(f < a) = X\ X(f > a); X( f < a) = X \ X( f > a) и свойств измеримых множеств.

В определении измеримой функции можно использовать любое из 4 множеств:

X( f > a), X( f > a), X( f < a), X( f < a), поскольку они выражаются через другие из них и измеримые множества.

60. Если f измеримы на X, то измеримыми будут такие

функции: f (x) + 1, If (x), | f( x)|, f ³(x), —где ( f (x) Ф 0),

^{f ( x)}

1e R.

Действительно, рассмотрим множества X(g > a) для указанных функций.

1. X( f + 1> a) = X( f > a-1).

2. 1f ° 0 при 1 = 0 - измеримо.

При 1> 0, X(1f > a) = X ^ f >1.

При 1< 0, X(1f > a) = X ^ f <jj.

, . f X; a < 0,

3. X( f > a) = I ' '

^{1 1} [ X( f > a) U X( f < -a), a > 0.

₂ f X; a < 0,

4. X( f² > a) = \ , , _r

I X( f >4a);a> 0.

X( f > 0); a = 0,

1

X( f > 0) п X( f <-); a > 0, a

1

X( f > 0) u X( f < 0) п X( f <-); a < 0.

a

7⁰. f непрерывная на отрезке [с; d] измерима на нем. Покажем, что F = X( f < a) замкнуто. Если x₀ - предельная точка F и x_n е F, x_n ® x₀, то f (x_n) < a и по непрерывности f будет f (x₀) < a ^ x₀ е F ^ F замкнуто ^ измеримо. Тогда X( f > a) = X \ F - измеримо.

Введем функцию, характеризующую данные множества. Определение

Г 1 [1; хе X,

Пусть ^X е[с;^d]. ^Фу^нкц^ия jx^(х) = ^

[0; хе [с; d] \ X,

называется характеристической функцией множества X.

5. X(f > a):

8⁰. Множество и его характеристическая функция одновременно измеримы или неизмеримы. Действительно:

0; a > 1, X; 0 < a < 1, Y; a < 0,

1. Пусть j_x (х) измерима, то тогда X = Y(j_x > 0) измеримо, где Y = [ с; d].

Действительно, перенумеруем рациональные числа:

Q = (OneN. Тогда X( f > g) = Q(X( f > Гк) п (g < Гк)) измеримо

к=1

как объединение счетного семейства измеряемых множеств.

10°. Пусть f и g конечнозначные измеримые функции на

f

X. Тогда измеримы функции f - g; f + g; fg; —(g Ф 0).

^g

Действительно:

1. a + g(x) измерима "a e R. В силу 9°, X( f > a + g) измеримо, а оно равно X( f - g > a) , а значит, f - g измеримо;

2. f + g = f - (-g) и 6°, 10°.1;

3. fg = 4 (( f + g)² - ( f - g)²) и 6°, 10°.1, 10°.2;

f 1

4. — = f— и 6°, 10°.3 . gg

Таким образом, арифметические действия дают снова измеримую функцию. В сочетании с 6° это будет важно в дальнейшем.