20. Функция класса Липшица (r. Lipschitz) есть фов. ► "(t),

b n-1 n—1

b

V( f; T) = 21 f (х_к+1) - f (хк) |< | хк+1 - хк |= L (b- a)<+¥ ^

к=0 к=0 b

^ V ( f )< L (b - a )<+¥ ^ V ( f )<+¥ ◄.

aa

3⁰. Если f(х) имеет ограниченную производную на [a, b], то f(х) есть ФОВ.

► Пусть $ | f (х) |< K "хе^, b]. По теореме Лагранжа

^{| f} (^хк+1)^{- f} (^хк)^{|£ K | х}к+1^{- х}к L ^{поскольк}у

На [-1;1], f (х) =

| f (хк+1)- f (хк )|=| /(Ск) К+1 - хк |, где с_к е [ х_к, х_к+₁ ], а | / (с_к) |< K . Тогда f (х) есть функция класса Липшица и по 2⁰ она есть ФОВ ◄. Пример

0; х = 0

f( х) :

х² sin —; х Ф 0 х

0; х = 0

— — | f (х) |< 2*1*1 + —*1 = — + 2,

2хsin —cos—; х Ф 0

хх

f (х) - ФОВ, хотя при х ® 0 она колеблется бесконечное

количество раз, переходя от возрастания к убыванию и

наоборот.

Замечани

е

Ограниченность вариации не связана напрямую с непрерывностью. С одной стороны, существуют разрывные ФОВ.

Пример

f (х) = {^0;0< ^х<¹ [1; х = 1.

1

Очевидно, V( f) = 1 < +¥ .

0

f ( х)^:

С другой стороны, не каждая непрерывная на [ a, b] функция есть ФОВ на нем. Пример

0; х = 0,

. p

хsin — ;0 < х< 1. 2 х

p

Поскольку $ lim хcos— = 0, ибо х - бесконечно малая,

х®+⁰ 2 х

cos ~~ ограниченная величина, то f(х) непрерывна на [0,1].

Возьмем (T), 0 < — <—¹— < ... <¹ < ¹ < 1. Тогда ^{v у} 2п 2п -1 3 2 111 1 V( f, T) = 1 + - +... + >+¥ . Значит, V( f ) = +¥.

0 ^v ' ' 2 _п ⁿ®^+¥ 0

Продолжим изучение свойств ФОВ. 4⁰. ФОВ ограничена на [ a, b].

b

► Пусть V( f) < +¥. Выполним такое (Т): a = х0 < х₁ < х₂ = b,

a

х₁ - произвольна. Обозначим х₁ = х.

bb V ( f; х)=^ (х)- f (a) | +1 f (b)- f (х) < V ( f) по свойству

aa

модуля

,

| f (x)|-| f (a) |<| f (x)- f (a) |, | f (x) | -1 f (b) <| f (b)-f (x) |.

b

Имеем: 2| f (x) | -1 f (a) | -1 f (b) |< V ( f), отсюда

a

| f (x) |< - (| f (a) | +1 f (b) | + V ( f) |, "xe (a, b). Следовательно,

2\

f(x) ограничена на [a, b] ◄. 5⁰. Сумма ФОВ есть ФОВ

bb

• Пусть j(x) = f (x) + g(x), V( f )<+¥, V(g)<+¥ .

aa

Имеем:

^| j(^xk+1 )^-j(^xk) ^|=^{| f} (^xk+1) + g(^xk+1)^{| -1 f} (^xk) + g(^xk+1) ^|=

=|( f (xk+1)-f (xk)) + (g(xk+1)-g(xk))|<

<|f (xk+1)-f (xk )| + |g (xk+1)-g (xk )|. bbb Отсюда V(j)< V( f)+ V(g)<+¥ ◄.

aaa

60. Разность фов есть фов. Аналогично 50.

70. Произведение фов есть фов.

bb

• Пусть h(x) = f (x) g(x), V ( f) < +¥, V (g) < +¥. По 4

aa

f(x) , g(x) ограничены на [a; b]; |f (x)| < A, |g(x)| < B, "x e [ a; b]. Имеем:

|h(xk+1) - h(xk)| = I f(xk+1)g(xk+1) - f(xk)g(xk) = = |( f(xk+1)g(xk+1) - f(xk)g(xk+1)) + ( f(xk)g(xk+1) - f(xk)g(xk)) <

• I g(xk+1) I f (xk+1) - f (xk)| +1 f (xk)| Ig(xk+1) - g(xk) <

• B f (xk+1) - f (xk)| + A|g(xk+1) - g(xk)|.

b b b Отсюда: V(h) < B V(f) + A V(g) <¥ ◄

.

8⁰. Если g(х) - ФОВ, \g(х)\ >a> 0 "хе[a;b], то

h( х) = — ФОВ

g^(х

⁾

1

► |h( х^) - h( хк )| g^(хк+1^{) -} g^(хк⁾

g^(хк+1⁾ g^(хк⁾

1

g^{( х}к+1⁾ g^{( х}к⁾ < О g^{( х}к+1^{) -} g^{( х}

к

b 1 Отсюда V (h) <—7 V (g) ◄.

a a²

9⁰. Если h(х) = , f(х) , g(х) - ФОВ, |g(х)| >a> 0 g^(х)

"хе [a; b], то h(х) - ФОВ.

• Вытекает из 7 и 8 ◄. 10⁰. Если a < c < b,

то f (х) eV [ a; b] о f( х) eV [a; c]a f (х) eV [c; b].

b c b

При этом, V( f) = V( f) + V( f).

a a c

• 1. Пусть f (х) e V[a; b]. Сделаем (T) - разбиение [a; c] и [с; b]. Отдельно

(^Т1): а = У0 < У < .. < = c; (T₂): c = ^0 < ^ < ... < t_p = ^b.

_c ™-1

(T)U(T) = (Тз) для [a;b]. V(f; T_x) = f(Уk+l)- f(j_k),

^a к=0

p-1

V(f) = 21 f ('к+1) - f ('к)|, тогда

^c к=0

c b b b c

I/( f;T) + V( f;T) = V( fT)< V( f )<+¥ ^ У( f)<+¥ ,

a c a a a

V ( f )<+¥

.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 2

КОНСПЕКТЛЕКЦИЙ 2

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 3

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИИ 3

а\в 15

( А \ Д) п (А \ Аг ) = 0 ( д\ Аг ) п ( а \ Аз )=0 23

2o Если A = U A, 1Ф j ^ A П Af =0, A = c, то A = c 37

Возьмем набор точек 0 = x0 < x1 < x2 < ... < xx i < xn = 1. 37

склеивания A = u A = ^ [xk-1, xk) = [0,1) = c. 38

3o A = u A, 1 ф j ^ A п A,. = 0, A = c ^ A = c. 38

. («,А )с G^iej ^ U (a ,b ) = a с g. 77

х = щ, k = 1,2,...,n 101

(L) J [ f\dx = 0 ^ [ L ]J f (x)dx = 0. 202

^ [ l ] J a fi - EIf i] П0) dx< [ l ] J a fi - nf i] П0) dx. 216

= (L) J n2 dx = ( R)J n2dx = n ® +¥ fn (x) ® 0 . 245

[i] f t—(x)dx = limi (- - - 1 264

на любое конечное число отрезков и кусочно-монотонная функция есть ФОВ.

11⁰. Если f (х) е V [ a, b], то функция g( х) = V( f (f))

a

ограничена и неубывающая на [a, b].

► Пусть a < х* < х** < b. Тогда g(х**) = У ( f (f)) =

* **

х х b

= V ( f (t))+ v ( f (f)) ^ g (х** )> g (х); g( х)< a ( f) ◄.

g( х')

12⁰. f (x)еV[a; b] ^ $F(х) на [a, b] неубывающая и ограниченная, такая, что "х^*,

х** е [a,b],х* < х** f (х**)-f (х**) |< F(х**)-F(х*).

>0

• 1. Необходимость. Пусть f ( x)e V[a, b]. Возьмем F(x) = g(x)V( f (t)). Она не убывает и ограничена по 11⁰.

|f (x**)-f (x) |< V*( f (t)) = g(x")-g(x) для [x, x**] .